Symmetrie (allgemein)

Reelle Funktionen kann man auch ganz allgemein auf besondere Symmetrien untersuchen. Dabei gilt:[br][br]Wenn für alle [math]x[/math] aus dem Definitionsbereich von [math]f[/math] gilt: [math]f\left(x\right)=f\left(-x\right)[/math], dann ist die Funktion y-achsensymmetrisch.[br][br]Wenn für alle [math]x[/math] aus dem Definitionsbereich von [math]f[/math] gilt: [math]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/math], dann ist die Funktion punktsymmetrsich zum Ursprung.[br][br]In den folgenden beiden Applets wird dieser Zusammenhang deutlich gemacht.

Schlussfolgerung:

Markiere alle korrekten Aussagen.

Wenn für eine Funktion [math]f[/math] gilt, dass [math]f(-x)=-f(x)[/math], dann ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Wenn eine Funktion [math]f[/math] symmetrisch zur y-Achse ist, dann ist [math]f(x)=f(-x)[/math]. Wenn eine Funktion [math]f[/math] punktsymmetrisch zum Ursprung ist, dann ist [math]f(-x)=-f(x)[/math]. Wenn für eine Funktion [math]f[/math] gilt, dass [math]f(x)=f(-x)[/math], dann ist die Funktion y-achsensymmetrisch.

Mit diesen beiden Formeln kann man auch das Produkt von symmetrischen Funktionen allgemein untersuchen.[br]Beweise den folgenden Satz:[br]Seien [math]f[/math] und [math]g[/math] reelle Funktionen, die beide punktsymmetrisch zum Ursprung sind.[br]Dann ist das Produkt der beiden Funktionen [math]h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)[/math] y-achsensymmetrisch

Du hast eben gezeigt, dass das Produkt von zwei Funktionen, die punktsymmetrisch zum Ursprung sind, y-achsensymmetrisch ist.[br]Ähnliche Aussagen kann man auch über andere Kombinationen machen.[br]Gib an, welche der folgenden Aussagen korrekt sind.[br](Zusatz: versuche die richtigen Aussagen wie im Legebeweis oben eigenständig zu beweisen.)[br]

Das Produkt von einer y-achsensymmetrischen Funktion mit einer Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist, weist im Allgemeinen keine einfache Symmetrie auf. Das Produkt von zwei Funktionen, die y-achsensymmetrisch sind, ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Das Produkt von zwei Funktionen, die y-achsensymmetrisch sind, ist ebenfalls y-achsensymmetrisch. Das Produkt von einer y-achsensymmetrischen Funktion mit einer Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist ebenfalls y-achsensymmetrisch. Das Produkt von einer y-achsensymmetrischen Funktion mit einer Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist ebenfalls punktsymmetrisch zum Ursprung.

Im Folgenden kannst du die Aussagen auf konkrete Funktionen anwenden.[br]

Die Funktion [math]f(x)=x^3 \cdot sin(x) [/math]ist y-achsensymmetrisch. Die Funktion [math] f(x)=x^2 \cdot cos(x) [/math] ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Funktion [math]f(x)=(x^2+1)(\frac{1}{1}x^3-x)[/math] ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Symmetrie (allgemein)

Schlussfolgerung:

Information: Symmetrie (allgemein)