L'algèbre permet parfois des simplifications surprenantes et des calculs qui semblent compliqués peuvent s'avérer au final très simples.[br][br]Prenons l'exemple de la somme suivante :[br][br][math]S_n=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+....+\frac{1}{n\times\left(n+1\right)}[/math][br][br]Dans [math]S_n[/math], l'indice [math]n[/math] indique le nombre de termes de la somme.[br][br]Ainsi on a [math]S_1=\frac{1}{1\times2}[br][/math] ; [math]S_2=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}[/math] ; [math]S_3=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}[/math] et ainsi de suite...
Calcule les 4 premiers termes de la suite : [math]S_1[/math]; [math]S_2[/math]; [math]S_3[/math] et [math]S_4[/math].
Je prétends que calculer n'importe quel terme de la suite "à la main", par exemple [math]S_{123}[/math] est extrèmement simple et rapide.[br][br]Nous allons voir comment.
Tout d'abord commence par calculer les différences suivantes :[br][br][math]\frac{1}{1}-\frac{1}{2}[/math] ; [math]\frac{1}{2}-\frac{1}{3}[/math] ; [math]\frac{1}{3}-\frac{1}{4}[/math] ; [math]\frac{1}{4}-\frac{1}{5}[/math] ; [math]\frac{1}{5}-\frac{1}{6}[/math] [br][br]Puis explique comment trouver très simplement les résultats de ces soustractions.
Dans le cas général où [math]n[/math] est un nombre entier, comment peut s'écrire la solution de la différence [math]\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}[/math] ?
Dans le tableur ci-dessous, complète les cellules pour faire calculer les expressions définies dans l'en-tête des colonnes jusqu'à [math]n=50[/math].[br][br]Puis rajoute une colonne à droite pour faire calculer la somme [math]S_n[/math] recherchée jusqu'à [math]n=50[/math].[br][br][size=85][b]Remarque :[/b] Tu peux faire afficher le résultat de calculs sous forme de fractions en sélectionnant les cellules concernées et en cliquant sur "Symbolique" dans l'onglet Algèbre des préférences de cellules.[/size]
A vu de ce qui précède, comment aurais-tu pu calculer [math]S_1[/math], [math]S_2[/math], [math]S_3[/math] et [math]S_4[/math] très rapidement ?[br]Déduis-en [math]S_5[/math], [math]S_6[/math] et [math]S_7[/math].
Dans le cas général où [math]n[/math] est un nombre entier supérieur à 1, explique comment calculer rapidement [math]S_n[/math] ?
A quoi est donc égale [math]S_{123}[/math] ?