Nach einer kurzen Thematisierung der Beweise geht es zurück zur Anwendung. (Die Regeln (iii) und (iv) sind ein bisschen aufwendiger zu beweisen, weshalb du sie [i]ausnahmsweise[/i] ohne Beweis anwenden darfst.)

Gegeben seien konvergente Folgen [math]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]a[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]b[/math]. Dann gelten folgende Aussagen:[br][br](i) Für jede Konstante [math]c\in\mathbb{R}[/math] ist die Folge [math]\left(c\cdot a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(c\cdot a_n\right)=c\cdot a[/math].[br](ii) Die Folge [math]\left(a_n+b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n+b_n\right)=a+b[/math].[br][b](iii) Die Folge [/b][math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math][b] ist konvergent und es gilt [/b][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=a\cdot b[/math][b].[br](iv) Falls alle [/b][math]b_n\ne0[/math][b] sind sowie [/b][math]b\ne0[/math][b] ist, so ist die Folge [/b][math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math][b] konvergent und es gilt [/b][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}[/math][b].[/b][br]

In den zwei folgenden Applets kannst du (iii) und (iv) erkunden. Mit den Applets kannst du erproben, wie sich die Folgen verhalten und mehrere Parameter selbst ändern. In den Applets sind auch [b]Eingabefelder[/b], in die du [b]eigene Folgen eingeben[/b] kannst.[br]Versuche nachzuvollziehen, was die Änderungen der Parameter bewirken und wie der Grenzwert der zu untersuchenden Folge bestimmt wird.

Du hast einen besseren Überblick über die Folgen, wenn du immer [b]nur ein Kontrollkästchen[/b] aktivierst.