[size=150]Die [b]komplexe Exponentialfunktion[/b] [math] e^z [/math] wird wie folgt definiert: [br]Für [math] z=x+iy [/math] mit rellen [math]x [/math] und [math] y [/math] setzt man [br][math]e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)=e^x\cos y+i\left(e^x\sin y\right)[/math] .[br][/size]

Bei der obigen Gleichung handelt es sich um eine [i]Definition. [/i]Eine Definition ist für sich zunächst einmal weder richtig noch falsch. Insofern kann man diese Definition nicht als "falsch" oder "richtig" bezeichnen. Genauso könnte man sagen, eine Funktion [math]f\left(x\right):=x^2[/math] zu definieren, sei "falsch" oder "richtig". Aber was soll daran falsch sein? Genauso weist man oben zunächst einmal einfach der Bezeichnung oder dem Objekt [math]e^z[/math] eine Bedeutung zu.[br][br]Definitionen müssen allerdings mit [i]allen bisherigen Definitionen zum selben Objekt [/i]verträglich sein. Das heißt, wenn man zuerst festlegt, dass [math]f\left(1\right)=2[/math] sein soll, kann man anschließend nicht mehr [math]f\left(x\right):=x^2[/math] festlegen ohne die erste Definition zu verwerfen.[br][br]In diesem Fall bedeutet das, die erweiterte Definition der Exponentialfunktion muss für reelle Zahlen, d. h. mit den obigen Bezeichnungen [math]y=0[/math] mit der gewohnten Exponentialfunktion übereinstimmen. Das tut sie wegen [math]\cos\left(0\right)=1,\sin\left(0\right)=0[/math] offenbar. Es gäbe aber natürlich noch andere Möglichkeiten, die dies erfüllen. [br][br]Warum sollte man sie also nicht anders definieren? Bearbeiten Sie dazu die beiden folgenden Arbeitsaufträge.

[list=a][*][b]Berechnen [/b]Sie Real und Imaginärteil von[b] [math]e^{2+\pi i}[/math] [/b]und[b] [math]e^{2i+\pi}[/math].[/b][br][/*][*]Die komplexe Exponentialfunktion soll die aus den rellen Zahlen gewohnte[b] wichtige Eigenschaft [/b][math]e^{z+w}=e^ze^w[/math] auch für komplexe Zahlen [math]z[/math][b] [/b]und[b] [/b][math]w[/math] erfüllen. [b]Rechnen Sie nach,[/b] dass die obige Definition dies erfüllt.[/*][*]Gleichzeitig bietet die komplexe Exponentialfunktion eine neue Möglichkeit komplexe Zahlen zu schreiben:[br][math]z=|z|\cdot\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)=|z|\cdot e^{i\varphi}[/math][br][b]Rechnen [/b]Sie auch dies nach.[/*][*][b]Begründen Sie, [/b]wieso aus Ihrer Sicht diese Definition für die komplexe Expomentialfunktion sinnvoll ist (oder nicht).[b] [/b][i](wenige, kurze Stichpunkte genügen)[/i][br][/*][/list][br][i]Hinweis[/i]: [b][color=#cc0000]Hilfekasten zu Aufg. 3.1b)[/color][/b]