Auch die Lösungen quadratischer Ungleichungen lassen sich durch eine Fallunterscheidung finden.

Löse die quadratische Ungleichung [math]\left(x-1\right)\left(x-5\right)>0[/math] durch Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen der Faktoren.[br][br][b]Vorgehensweise[/b]:[br]Das Produkt [math]\left(x-1\right)\left(x-5\right)[/math] ist positiv, wenn beide Faktoren positiv oder aber beide Faktoren negativ sind.[br]Es müssen also [b]zwei Fälle[/b] unterschieden werden:[br][br][list=1][*][b]Fall:[/b] Beide Faktoren sind positiv.[br][br]Also gilt [math]\left(x-1\right)>0[/math] und [math]\left(x-5\right)>0[/math] und damit [math]x>1[/math] UND [math]x>5[/math]. Daher gilt für die Lösungsmenge[br]L[sub]1 [/sub]= {[math]x\in\mathbb{R}[/math]|[math]x>5[/math]}.[br][br][/*][*][b]Fall:[/b] Beide Faktoren sind negativ.[br][br]Also gilt [math]\left(x-1\right)<0[/math] und [math]\left(x-5\right)<0[/math] und damit [math]x<1[/math] UND [math]x<5[/math]. Daher gilt für die Lösungsmenge[br]L[sub]2[/sub] = {[math]x\in\mathbb{R}[/math]|[math]x<1[/math]}.[/*][/list]Weil L[sub]1[/sub] und L[sub]2[/sub] gültige Teil-Lösungen sind, ist die gesamte Lösungsmenge die Vereinigung der beiden...[br]Also gilt: L = L[sub]1[/sub] [math]\cup[/math] L[sub]2[/sub] = {[math]x\in\mathbb{R}[/math]|[math]\left(x<1\right)\vee\left(x>5\right)[/math]}.[br]Oder anders geschrieben: [math]x\in[/math]][math]-\infty;1[/math]][math]\cup[/math]][math]5;\infty[/math][ [br]

Gib folgende quadratische Ungleichungen in GeoGebra ein und lass dir die Lösungen zeigen. Orientiere dich dabei an den Schnittpunkten der Funktion mit der x-Achse.[br][br][list=1][*][math]x^2+3x-4\le0[/math][br][/*][*][math]\left(x-2\right)\left(x-1\right)<0[/math][br][/*][*][math]x^2+16x+63\ge0[/math][br][/*][*][math]x^2-x-42<0[/math][br][/*][*][math]\left(x-1\right)\left(x+6\right)>0[/math][br][/*][/list]