Der stochastisch modellierte Zerfallsprozess funktioniert so: Es werden Würfelwürfe mit einer großen, unbekannten Menge an Würfeln simuliert. Die Anzahl der «1er» wird gezählt. Diese Anzahl Würfel werden aus der Gesamtmenge entfernt. Wir sagen, dass diese Würfel "zerfallen". Danach wird der Vorgang mit der reduzierten Menge Würfel wiederholt.[br][br]Die Anfangsmenge [math]N_0[/math] der Würfel ist unbekannt. Auch die Art der Spielwürfel, das heißt ihr Zerfallswahrscheinlichkeit [math]p[/math] ist unbekannt.[br]Würfele den Zerfallsprozess aus und versuche Anfangswert und Zerfallswahrscheinlichkeit zu schätzen!
Bestimme und begründe: Wie groß ist die Zerfallswahrscheinlichkeit [math]p[/math] und die Anfangsmenge [math]N_0[/math]?
Zerfallswahrscheinlichkeit: [br][math]p=0,28\pm0,01[/math][br]Anfangsmenge:[br][math]N_0=4200\pm200[/math][br]Die Menge der Würfel [math]N_n[/math] ist immer ein Vielfaches [math]\frac{1}{p}[/math] der Menge der zerfallenen Würfel [math]Z_n[/math]. Gleichzeitig wird die Menge der Würfel [math]N_n[/math] immer um die jeweilige Zerfallsmenge reduziert: [math]N_{n+1}=N_n-Z_n[/math]. Die übrige Menge der Würfel läuft gegen Null[math]N_{\infty}\longrightarrow0[/math], kann aber nicht negativ werden [math]N_{\infty}\ge 0[/math].
a) Bestimme einen Term für die Zerfallsmenge [math]Z_0[/math] und Restmenge [math]N_1[/math] nach dem ersten Wurf in Abhängigkeit von [math]N_0[/math] und [math]p[/math].[br][br]b) Bestimme einen Term für die Zerfallsmenge [math]Z_n[/math] und die Restmenge [math]N_n[/math] nach dem n-ten Wurf.
a) Für die Zerfallsmenge [math]Z_0[/math] gilt [math]Z_0=N_0\cdot p[/math]. [br]Für die Restmenge [math]N_1[/math] gilt [math]N_1=N_0\cdot(1-p)[/math].[br][br]b) Es zerfällt immer ein fester Anteil [math]p[/math] der vorhandenen Restmenge [math]N_{n}[/math]. Es gilt also: [math]Z_n=N_n\cdot p[/math][br]Das bedeutet auch, dass immer ein fester Anteil [math](1-p)[/math] [u]nicht[/u] zerfällt. [br][br]Es gilt also für die Restmenge [math]N_n[/math], nach dem n-ten Wurf: [math]N_n=N_{n-1}-Z_{n-1}=(1-p)N_{n-1}=N_0\cdot\left(1-p\right)^n[/math][br][br]Die Zerfallsmenge [math]Z_n[/math] hängt mit der Anzahl der zerfallenen Würfel vor dem n-ten Wurf zusammen. [br]Es gilt: [math]Z_n=N_{n}\cdot p=N_0\cdot\left(1-p\right)^{n}\cdot p = Z_0\cdot \left(1-p\right)^{n}[/math]