[b][size=150]＜定積分の図形的意味＞[br][/size][/b]もとの関数f(x)をｘがa以上b以下という定まった区間で積分することを定積分[b][size=150][color=#0000ff][definite integral][/color][/size][/b]というのでした。[br][color=#0000ff][b][size=150]定積分は代入値の差だね。[br][/size][/b][/color]不定積分関数をF(x)+Cとするとき、[br][math]\int^b_af\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]^b_a=F\left(b\right)-F\left(a\right)[/math]　と不定積分の差でCが消える。[br]※不定積分のCは一意的ではないけれど、「C」だと１つに仮定すれば同じになるから消える。[br]※aが小、ｂが大という大小順で通常使う。[br][color=#0000ff][b][size=150][br]a以上b以下区間でf(x)が非負ならば[br]定積分はx=aとx=bとy=0とy=f(x)の４つのグラフにかこまれた[u]領域Aの面積S(A)[/u]と等しい。[br][math]\int^b_af\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]^b_a=F\left(b\right)-F\left(a\right)=S\left(A\right)[/math][br][/size][/b]（理由）[br][/color][color=#0000ff]（由来から）[br][/color]　丸い図形Aの面積Sを求めたい。[br]　Aを底(bottom)から頂上(top)まで、水平に切り刻む。[br]　超薄切りにすると、１つ１つはひものような長方形のような形になる。[br]　薄切りの長方形のようなものの１つの面積をdSとする。[br]　これをbottomからtopまで[color=#0000ff]SumUp（たしあげる）のS[/color]を[br]　 上下に引き伸ばしてかいた記号が[color=#0000ff]∫（インテグラル）[/color]。[br]　[math]\int^{top}_{bottom}dS=S[/math][br][color=#0000ff]　（領域Aの分割和の極限として）[br][/color]　 関数f(x)の値が非負ならば、[br]　領域Aをx=aからy=bまで、垂直に切り刻む。[br]　超薄切りにすると、１つ１つはひものような長方形のような形になる。[br]　薄切りの長方形のようなものの横長を△xとすると、たて長はそのつどf(ｘ）となる。[br]　だから、１つの面積ΔS＝f(x)・△ｘとなるね。[br]　これをx=aからｘ＝ｂまでたしあげると、[color=#0000ff]∑ΔS＝∑（たて・よこ）＝∑（f(x)・Δｘ）[/color]となる。[br]　この[color=#0000ff]切り刻みを無限に細かくする極限値[/color]は、[br]　lim∑ΔS＝lim∑f(x)・Δｘ＝[math]\int^b_af\left(x\right)dx=S\left(A\right)[/math]　となるでしょう。[br]　つまり、[u]f(x)＝たて長、dx=よこ長で、ひも＝長方形[/u]ということにしちゃう。すると、[br]　[color=#0000ff][b]「ひもの面積dS=f(x)dx=f(x)・dx＝たて×よこ」という意味になる。[br][/b][/color] 　逆にいうと、定積分は∑計算式の極限としてでも求められるということだ。[br]これが、[b][color=#0000ff][size=150]区分求積法[/size][/color][/b][br]　[math]S\left(A\right)=\int^b_af\left(x\right)dx=lim_{_{n\longrightarrow\infty}}\sum^n_{i=1}f\left(x_i\right)\cdot\frac{b-a}{n}[/math][br]　※区切ったときの左側積和（上和）と右側積和（下和）からの挟み撃ちによる収束証明は略。　

[b][size=150]＜S(A)=F(b)-F(a)＞[br][color=#0000ff]（実験しよう）[br][/color][/size][/b]　関数f(x)=2x+1の不定積分をF(x)=x[sup]2[/sup]+x（簡単のためにC=0）としよう。　[br]1以上4以下の区間でf(x)の定積分を求める。x=1,x=4,y=f(x),y=0がかこむ領域をSとする。[br][math]S\left(A\right)=\int^4_1\left(2x+1\right)\cdot dx=lim_{_{n\longrightarrow\infty}}\sum^n_{i=1}\left(2x_i+1\right)\cdot\frac{4-1}{n}[/math][br][br]・n=3の場合、短冊のよこ長は(4-1)/3=1で、{f(1),f(2),(3),f(4)}={3,5,7,9}だから、[br]中点値をたてにすると,{(3+5)/2,(5+7)/2,(7+9)/2}=4,6,8で、[br]S(A)は4×1+6×1+8×1=18で近似できる。8+6+4=18。[br]一方で、F(4)-F(1)=(4[sup]2[/sup]+4)-(1[sup]2[/sup]+1)=20-2=18となる。[br][color=#0000ff][b]F(4)-F(1)=(F(4)-F(3))+(F(3)-F(2))+(F(2)-F(1))=(20-12)+(12-6)+(6-2)[/b][/color]=8+6+4=18[br][br]・n=6の場合、よこ長=3/6=1/2で、{f(1.5),f(2.5)f(3.5)}={4,6,8}もデータに加える。[br]{3,4,5,6,7,8,9}の中間値は{3.5,4.5,5.5,6.5,7.5,8.5}で[br]S(A)=(3.5+4.5+5.5+6.5+7.5+8.5)×1/2=36/2=18。[br]一方で[br]F(4)-F(1)=18[br]=(F(4)-F(3.5))+(F(3.5)-F(3))+(F(3)-F(2.5))+(F(2.5)-F(2))+(F(2)-F(1.5))+(F(1.5)-F(1))[br]=(20-15.75)+(15.75-12)+(12-8.75)+(8.75-6)+(6-3.75)+(3.75-2)[br]=4.25+3.75+3.25+2.75+2.25+1.75[br]=8.5/2+7.5/2+6.5/2+5.5/2+4.5/2+3.5/2[br]=(8.5+7.5+6.5+5.5+4.5+3.5)×1/2=36/2=18。[br][br][color=#0000ff][b][size=150]（一般化）[/size][/b][/color][br][color=#0000ff][b]F(b)-F(a)は区間のスタートと終わりでの値の差だが、[br]区間をdxずつ増やしたときのF(x)の増加分の累積[/b][/color]でもある。[br]そのつどのF(x)の増加分を正比例として考えて、[br]「（傾き）×（増加分ｘ）＝（F(x)の微分係数f(x)）×幅dx」、つまりf(x)・dxとなる。[br]だから、面積S(A)＝定積分＝不定積分値の差F(b)-F(a)となる。[br][br][b][size=150]＜面積が負になる？＞[/size][/b][br][math]S\left(A\right)=\int^b_af\left(x\right)dx=lim_{_{n\longrightarrow\infty}}\sum^n_{i=1}f\left(x_i\right)\cdot\frac{b-a}{n}[/math][br]短冊の面積和の極限としての定積分だったが、[br]f(x)の値が負になる場合は、上の定義からはたてのf(xi)が負になり面積が負になる。[br]だから、f(x)がｘ軸と交わる点cを積分区間に含むときやf(x)が区間ですべて負になる場合、[br]最終的な[color=#0000ff][b][size=150]面積S(A)が負や０になる[/size][/b][/color]こともありうる。[br][color=#0000ff][size=150][u]面積を負にしたくなかったら、f(x)ではなく、|f(x)|を積分しよう。[br][br][/u][size=100]途中で上下（大小）が入れ替わることも考えると、[br]2曲線のｆ，ｇにかこまれた面積を求める定積分の式は[br][/size][/size][/color][math]\int^b_a\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx[/math] のように、絶対値記号でくくっておこう。

積分区間や符号の反転は「積分する式＝０の解」とつなげて考えよう。[br][b][size=150]＜実験＞[br][/size][/b]・上に凸な放物線とｘ軸がかこむ図形の面積は[math]-\int^{\beta}_{\alpha}\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)dx=\frac{\left(\beta-\alpha\right)^3}{6}[/math][br] (ただし、αよりβは大の実数とする）[br][br]f(x)=-(x-1)(x-3)＝-x[sup]2[/sup]+4x-3とｘ軸がかこむ面積を求めたいとする。[br]ｘ軸との交点はf(x)=0の解ｘ＝1,3だから、積分区間は(1,3)となるね。[br]integral(f,1,3)を求めればよい。[br][math]\int^3_1f\left(x\right)dx=\int^3_1\left(-x^2+4x-3\right)dx=\left[-\frac{1}{3}x^3+2x^2-3x\right]^3_1=\left(-\frac{1}{3}3^3+2\cdot3^2-3\cdot3\right)-\left(-\frac{1}{3}1^3+2\cdot1^2-3\cdot1\right)[/math][br]=[math]-\frac{1}{3}\left(3^3-1^3\right)+2\left(3^2-1^2\right)-3\left(3-1\right)=-\frac{1}{3}\cdot26+2\cdot8-3\cdot2=\frac{-26+30}{3}=\frac{4}{3}[/math][br][br][math]\frac{1}{6}\left(3-1\right)^3=\frac{1}{6}\cdot8=\frac{4}{3}[/math][math]\frac{1}{6}\left(3-1\right)^3=\frac{1}{6}\cdot8=\frac{4}{3}[/math][br][b][size=150]＜検証＞[/size][/b][br][math]\int^{\beta}_{\alpha}-\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)dx=\left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{\left(\alpha+\beta\right)}{2}x^2-\alpha\beta x\right]^{\beta}_{\alpha}[/math][br]=[math]-\frac{1}{3}\left(\beta^3-\alpha^3\right)+\frac{\left(\alpha+\beta\right)}{2}\left(\beta^2-\alpha^2\right)-\alpha\beta\left(\beta-\alpha\right)[/math]=[math]\frac{1}{6}\left(\beta-\alpha\right)\left(-2\left(\beta^2+\alpha\beta+\beta^2\right)+3\left(\alpha+\beta\right)^2-6\alpha\beta\right)[/math][br][br]=[math]\frac{1}{6}\left(\beta-\alpha\right)\left(\beta^2-2\alpha\beta+\alpha^2\right)=\frac{1}{6}\left(\beta-\alpha\right)^3[/math][br][b][size=150]＜活用＞[/size][/b][br]この公式は、結果として積分関数がｘ軸の上になるようになれば、[color=#0000ff]２つの2次以下の曲線どうしが[br]囲む面積を出すのに[/color]使える。ｘ軸の交点を小がα、大がβならそのまま使える。[br]それは、区分求積法で、領域を区切ったときにできる短冊をｘ軸まで等積移動しても、面積は変わらないから。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「放物線y=x[sup]2[/sup]と直線y=m(x-1)+2でかこまれた面積の最小値」は？[br]　　　f(x)=x[sup]2[/sup]-mx+m-2=0の2解を小α、大βとすると、解の和m,積がm-2だから、[br] diff=解の差の2乗=α[sup]2[/sup]-2αβ+β[sup]2[/sup]=和の2乗-4倍の積=m[sup]2[/sup]-4(m-2)=m[sup]2[/sup]-4m+8=(m-2)[sup]2[/sup]+4[br] S(m)=-integral(f(x),α,β)=1/6(β-α)[sup]3[/sup]=1/6(diff)[sup]3/2[/sup]=1/6((m-2)[sup]2[/sup]+4)[sup]3/2[br][/sup] S(m)の最小値はｍ=2のときで、S(2)=1/6((2-2)[sup]2[/sup]+4)[sup]3/2[/sup]=1/6((4)[sup]3/2[/sup]=8/6=4/3。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「放物線y=x[sup]2[/sup]-1に点(-1,-4)から引いた２接線と放物線が囲む面積」は？[br]　　　接線をy=m(x+1)-4として、f(x)=x[sup]2[/sup]-1-(m(x+1)-4)=x[sup]2[/sup]-mx-m+3=0が重複解をもつとき接線がある。[br] D=m[sup]2[/sup]-4(-m+3)=m[sup]2[/sup]+4m-12=(m-2)(m+6)=0から、m=2,-6。2直線の交点は2(x+1)=-6(x+1)から[b]x=-1[/b]。[br]　　　接線の傾きm=2のとき、f(x)=x[sup]2[/sup]-2x+1=(x-1)[sup]2[/sup]=0から、接点のｘ座標はα=1[br]　　　接線の傾きm=-6のとき、f(x)=x[sup]2[/sup]+6x+9=(x+3)[sup]2[/sup]=0から、接点のｘ座標はβ=-3[br]　　　integral(f,-3,-1)+integral(f,-1,1)=[math]\int_{-3}^{-1}\left(x+3\right)^{^2}dx+\int_{-1}^1\left(x-1\right)^2dx=\left[\frac{1}{3}\left(x+3\right)^3\right]_{-3}^{-1}+\left[\frac{1}{3}\left(x-1\right)^3\right]_{-1}^1[/math][br] [math]\left(\frac{1}{3}\left(-1+3\right)^3\right)+\left(-\frac{1}{3}\left(-1-1\right)^3\right)=\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=\frac{16}{3}[/math][br] [color=#0000ff]（一般化してみよう）[br][/color]　　　「正数aのy=ax[sup]2[/sup]+bx+cに点P(p,q)から引いた２接線と放物線が囲む面積」は？[br] 接線をy=m(x-p)+qとして、f(x)=ax[sup]2[/sup]+bx+c-(m(x-p)+q)=ax[sup]2[/sup]+(b-m)x+c+mp-q=0が重複解をもつ。[br] D=(b-m)[sup]2[/sup]-4a(c+mp-q)=m[sup]2[/sup]-2(b+2ap)m+b[sup]2[/sup]+4a(q-c)=(m-r)(m-s)=0　２接線の傾きm=r,sとなるね。[br] 傾きm=rで、f(x)=ax[sup]2[/sup]+(b-r)x+...=a(x+(b-r)/2a)[sup]2[/sup]=a(x-α)[sup]2[/sup]=0 接点のx座標α=-(b-r)/2a=.....=(r-s)/4a +p [br]　　　傾きm=sで、f(x)=ax[sup]2[/sup]+(b-s)x+...=a(x+(b-s)/2a)[sup]2[/sup]=a(x-β)[sup]2[/sup]=0 接点のｘ座標β=.....= (s-r)/4a +p [br]　　　接点のｘ座標の和α+β=(r-s)/4a +p+ (s-r)/4a +p=2pだから、[b]p=(α+β)/2[/b][br]　　　integral(f,α,p)+integral(f,p,β)=[math]a\int_{\alpha}^p\left(x-\alpha\right)^{^2}dx+a\int_p^{\beta}\left(x-\beta\right)^2dx=a\left[\frac{1}{3}\left(x-\alpha\right)^3\right]_{\alpha}^p+a\left[\frac{1}{3}\left(x-\beta\right)^3\right]_p^{\beta}[/math][br] [math]a\left(\frac{1}{3}\left(p-\alpha\right)^3\right)+a\left(-\frac{1}{3}\left(p-\beta\right)^3\right)=a\left(\frac{1}{3}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha\right)^3\right)+a\left(\frac{1}{3}\left(\beta-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^3\right)[/math][br] = [math]\frac{a}{3}\left(\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha\right)^3+\left(\beta-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)^3\right)=\frac{a}{3}\left(2\left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)^3\right)=\frac{a}{12}\left(\beta-\alpha\right)^3[/math]

３次以上の曲線でも、[br]積分区間となる方程式の解と係数の関係や、曲線の対称性などから、[br]面積を解の式で表したりすることができるはずだね。[br][br][color=#0000ff]（例）[/color]「f(x)=x[sup]3[/sup]-6x[sup]2[/sup]+9x、g(x)=mx（mは０と９の間）でf,gが囲む２つの図形の面積が等しくなるm」は？[br]P=f-g=x[sup]3[/sup]-6x[sup]2[/sup]+(9-m)x=x(x[sup]2[/sup]-6x+(9-m))=0は３実数解小さい順にx=0, α, βをもつ。[br]x[sup]2[/sup]-6x+(9-m)=0の２つの解がα=3-√m, β=3+√m。だから、-β[sup]2[/sup]+6β=(9-m)(★）[br]ｆのグラフが点(α,g(x))を中心に２つの図形は合同だから、区間[0,β]でのｆとｇの定積分は等しい。[br]integral(f,0,β)-integral(g,0,β)=integral(f-g, 0,β)=integral(P, 0,β)=0となるはず。[br][math]Z=\int_0^{\beta}\text{x^3-6x^2+(9-m)x}dx=\left[\frac{1}{4}x^4-2x^3+\frac{\left(9-m\right)}{2}x^2\right]_0^{\beta}=\frac{1}{4}\beta^4-2\beta^3+\frac{\left(9-m\right)}{2}\beta^2=\frac{1}{4}\beta^2\left(\beta^2-8\beta+2\left(9-m\right)\right)=0[/math][br]★から、2(9-m)=-2β[sup]2[/sup]+12β を代入し、4Z=[math]\beta^2\left(\beta^2-8\beta\text{ }-2\beta^{\text{２}}+12\beta\right)=\beta^3\left(4-\beta\right)=0[/math] [br]β≠0から、β=4。だから、9-m=-16+24=8。m=1。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「f(x)=x[sup]3[/sup]-3xの点(2,2)での接線とfが囲む面積」は?[br] f'(x)=3x[sup]2[/sup]-3から接線の傾きはf'(2)=9で、接線はy=9(x-2)+2=9x-16。[br]　P(x)=f-g=x[sup]3[/sup]-3x-(9x-16)=x[sup]3[/sup]-12x+16=0 はx=2で接することから重複解になる。係数比較で16÷(2×2)=4から、もう一つの因数は(x+4)となり、p(x)=(x-2)[sup]2[/sup](x+4) [br] 積分区間は[-4,2]ではfがgより上にある。integral[P,-4,2]=[1/4x4-6x2+16x][-4,2][br] =1/4(2[sup]4[/sup]-(-4)[sup]4[/sup])-6(2[sup]2[/sup]-(-4)[sup]2[/sup])+16(2-(-4))=1/4(16-256)-6(4-16)+16(6)=-60+72+96=108。[br][color=#0000ff]（一般化すると）[/color][br]「aが正の3次曲線y=ax[sup]3[/sup]+bx[sup]2[/sup]+cx+dの点A(α,f(α))での接線とfが囲む面積」は?[br] f'(x)=3ax2+2bx+c。f'(p)=3ap2+2bp+c=mとおく。交わる点をB(β,f(β))とする。[br]　接線はy=g(x)=f'(p)(x-p)+f(p)=mx+f(p)-pm。[br]　P(x)=g-f=(mx+f(p)-pm) -(ax3+bx2+cx+d) =-a(x-α)[sup]2[/sup](x-β)　[br]　積分区間は[α,β]ではgがfより上にある。[br]integral[P,α,β]=[math]\int_α^β-a(x-α)^2(x-β)dx=-a\int_α^β(x-α)^2(x-β)dx=[/math]　([b]部分積分[/b]によって）[br][math]-a\left[\frac{1}{3}(x-α)^3(x-β)\right]_α^β-\left(-a\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{3}(x-α)^3dx\right)=a\int_{\alpha}^{\beta}\frac{1}{3}(x-α)^3dx=a\left[\frac{1}{12}\left(x-\alpha\right)^4\right]_{\alpha}^{\beta}=\frac{a}{12}\left(\beta-\alpha\right)^4[/math][br][color=#0000ff](別計算方法）[/color][br][math]-a\int_α^β(x-α)^2(\left(x-\alpha\right)+\left(\alpha-β\right))dx=-a\left(\left(\int_α^β(x-α)^3dx\right)+\left(\alpha-β\right)\int_α^β(x-α)^2dx\right)[/math][br]=[math]-a\left(\frac{1}{4}\left[(x-α)^4\right]_α^β+\frac{\left(\alpha-β\right)}{3}\left[(x-α)^3\right]_α^β\right)=-a\left(\frac{1}{4}(\beta-α)^4-\frac{\left(\beta-\alpha\right)}{3}(\beta-α)^3\right)=\frac{a}{12}\left(\beta-\alpha\right)^4[/math][br][br]（例）「aが正の４次曲線y=f(x)の点A(α,f(α)),B(β,f(β))での接線とfが囲む面積」は?[br] 接線はy=g(x)=mx+nで、接点のｘ=α,βはP(x)=f-g=(x-α)[sup]2[/sup](x-β)[sup]2[/sup]の解で、積分区間は[α,β][br] integral[P,α,β]=[math]\int_α^β(x-α)^2(x-β)^2dx=\int_α^β(x-α)^2\left(\left(x-\alpha\right)+\left(\alpha-\beta\right)\right)^2dx[/math][br][br][math]=\int_α^β(x-α)^4dx+2\left(\alpha-\beta\right)\int_α^β\left(x-\alpha\right)^3dx+\left(\alpha-\beta\right)^2\int_α^β\left(x-\alpha\right)^2dx[/math][br][math]=\frac{1}{5}\left[(x-α)^5\right]_α^β+\frac{2\left(\alpha-\beta\right)}{4}\left[\left(x-\alpha\right)^4\right]_α^β+\frac{\left(\alpha-\beta\right)}{3}^2\left[\left(x-\alpha\right)^3\right]_α^β[/math][br][math]=\frac{1}{5}(\beta-α)^5-\frac{\left(\beta-\alpha\right)}{2}\left(\beta-\alpha\right)^4+\frac{\left(\beta-\alpha\right)}{3}^2\left(\beta-\alpha\right)^3=\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\left(\beta-\alpha\right)^5=\frac{1}{30}\left(\beta-\alpha\right)^5[/math]