[b][color=#ff0000]Dans cette activité, vous allez explorer la définition, Exemple, propriétés et des Méthodes pour résoudre une équation quotient [br][/color][/b]

Toute équation du type [math]\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=0[/math] où [math]P\left(x\right)[/math] et [math]Q\left(x\right)[/math] sont des expressions[br]algébriques ([math]Q\left(x\right)\mp0[/math]), est appelée équation-quotient. [br][br]

La résolution d’équations contenant des quotients se fait selon les étapes suivantes :[br] [color=#0000ff]Etape n°1[/color] :[b] Identifier toutes les valeurs interdites en analysant les dénominateurs.[/b][br] [color=#0000ff]Etape n°2[/color] : [b]Regrouper tous les termes à gauche de l’équation pour obtenir une équation nulle.[/b][br] [color=#0000ff]Etape n°3[/color] : [b]Mettre tous les termes sous le même dénominateur en vue d’obtenir qu’une seule fraction. On obtient alors une équation de la forme [math]\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=0[/math][/b][br] [color=#0000ff]Etape n°4 : [/color][b]Utiliser le théorème du quotient nul et résoudre [/b] [math]P\left(x\right)=0[/math] [br] [color=#0000ff]Etape n°5 : [/color][b]Vérifier que les solutions trouvées appartiennent à l’ensemble de définition de    l’équation.[/b] [br] [color=#0000ff]Etape n°6 : [/color][b]Conclure sur les solutions.[/b][br][color=#0000ff][b][br]Appliquons ces étapes pour résoudre dans [/b][/color][math]\mathbb{R}[/math][b][color=#0000ff] l'équation suivante: [math]\frac{3x+1}{1-x}=\frac{4x}{2-2x}[/math][/color][/b][b][br][color=#ff0000][br]ETAPE N°1[/color] :[/b][b]Identifier la ou les valeur(s) interdite(s) [/b] [br]  On commence par identifier la ou les valeur(s) interdite(s) éventuelle(s), c'est-à-dire les valeurs qui annulent le(s) dénominateur(s).[br][b][br]Application : [/b]On identifie la ou les valeur(s) interdite(s). Pour tout réel x : [math]1-x=0[/math][br]    on a [math]1-x=0[/math][br]    donc x = 1[br]    On en déduit que l'équation n'est pas définie en x= 1. On la résout donc sur [math]\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}[/math].[br][br][b][b][color=#ff0000]ETAPE N°2[/color][/b] :[/b] [b]Passer tous les termes du même côté de l'égalité[br][/b] Si l'équation n'est pas une équation quotient nul, on passe tous les termes du même côté de l'égalité.[br][br][b]Application : [/b]On passe tous les termes du même côté de l'égalité. Pour tout réel [math]x\in\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}[/math] : [math]\frac{3x+1}{1-x}=\frac{4x}{2-2x}[/math][br][br]  on a [math]\frac{3x+1}{1-x}=\frac{4x}{2-2x}[/math] [br]  donc [math]\frac{3x+1}{1-x}-\frac{4x}{2-2x}=0[/math][br][br][color=#ff0000][b]ETAPE N°3[/b] : [/color][b]Mettre les fractions sur le même dénominateur[br][/b] Si l'équation n'est pas un quotient nul, on met ensuite tous les termes sur le même dénominateur.[br] On obtient une équation quotient nul.[br][b][br]Application : [/b]On met tous les termes sur le même dénominateur.[br] On remarque que [math]2-2x=2\left(1-x\right)[/math], on choisit donc [math]2-2x[/math] comme dénominateur commun.[br] Ainsi, pour tout réel [math]x\mp1[/math]: [br][br] on a [math]\frac{3x+1}{1-x}-\frac{4x}{2-2x}=0[/math][br][br] donc [math]\frac{2\left(3x+1\right)}{2-2x}-\frac{4x}{2-2x}=0[/math][br][br] donc [math]\frac{6x+2-4x}{2-2x}=0[/math][br] [br] alors [math]\frac{2x+2}{2-2x}=0[/math][br][br][color=#ff0000][b]ETAPE N°4[/b] :[/color] [b]Réciter le cours[br][/b] On récite la propriété : "un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul". On peut alors [br] transformer l'équation.[br][b][br]Application : Pour tout réel [math]x\mp1[/math][br][br] on a [math]\frac{2x+2}{2-2x}=0[/math] [br][br][/b] donc [math]2x+2=0[/math][br][br][br][b][color=#ff0000]ETAPE N°5[/color][/b][color=#ff0000]: [/color][b]Résoudre l'équation[br][/b] On résout l'équation obtenue.[b][br][br]Application : [/b]On résout donc l'équation [math]2x+2=0[/math]pour tout réel[b] [math]x\mp1[/math][br][br][/b] on a [math]2x+2=0[/math][br] donc [math]2x=-2[/math][br] d'où x = [math]\frac{-2}{2}[/math] [br] alors x =-1[br][br][br][b][color=#ff0000]ETAPE N°6[/color][/b][color=#ff0000][b]:[/b] [/color][b]Vérifier l'appartenance des solutions au domaine de définition de l'équation et conclure[/b][br] On vérifie que les solutions obtenues appartiennent bien au domaine de définition de l'équation.[br] On en déduit les solutions de l'équation quotient.[br][br][b]Application : [/b]L'équation est définie sur [math]\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}[/math][br] Or [math]-1\in\mathbb{R}\backslash\left\{1\right\}[/math][br] On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est : [math]S=\left\{-1\right\}[/math][br][br][br]