Korjenovanje kompleksnih brojeva

Sljedećim ćeš interaktivnim uratkom istražiti [b]korjenovanje kompleksnih brojeva[/b].[br][br]Iako se pri korjenovanju kompleksnih brojeva barata DeMoivreovom formulom, za koju je potrebno kompleksni broj zapisati u trigonometrijskom obliku, ovdje dajemo algebarski prikaz kako bi još dodatno provježbao/provježbala prijelaz iz algebarskog u trigonometrijski oblik.[br][br]Točku [math]z_1[/math] možeš pomicati kako bi dobio rezultate korjenovanja tog broja. Prikazano je jedno rješenje [math]w[/math], a grafički su prikazana sva rješenja.[br][br]Stupanj korijena odredi klizačem [i]n[/i]. Potvrdni će ti okviri [i]Kutovi[/i] i [i]Dužine[/i] zatrebat će ti za pitanja koja slijede.[br][br]Izračunaj gdje je potrebno, razmisli i što detaljnije obrazloži svoje odgovore:[br][list=1][*]Koliko brojeva zadovoljava jednadžbu [math]w^n=z[/math]?[/*][*]Promotri interaktivni uradak. Kakva je apsolutna vrijednost svakog od rješenja?[/*][*]Odredi apsolutnu vrijednost brojeva [math]z_1[/math] i [math]w_1[/math]. Napiši vezu između ta dva broja i broja rješenja.[/*][*]Uključi potvrdni okvir [i]Kutovi [/i]i [i]Dužine[/i]. Kakvi su kutovi koji određuju dužine ishodišta sa susjednim dvama rješenjima? Po čemu to zaključuješ?[/*][*]Kakav je mnogokut kojeg određuju dužine susjedna dva rješenja? Obrazloži svoj odgovor![/*][/list]

[b]Zadatci za vježbu[/b]

1. Koliko rješenja ima jednadžba [math]w^n=z[/math]?

[math]n[/math] [math]3n[/math] [math]\frac{n}{2}[/math] [math]2n[/math]

2. Koji je odnos apsolutne vrijednost broja [math]z[/math] i jednog od rješenja jednadžbe [math]w^n=z[/math], [math]n>2[/math]?

[math]\sqrt{\left|z\right|}[/math] [math]\left|z\right|^n[/math] [math]\sqrt[n]{\left|z\right|}[/math] [math]\left|2z\right|[/math]

3. Koliki je kut među dužinama koje se određene ishodištem i susjednim dvaju rješenjima jednadžbe [math]w^n=z[/math]?

[math]\frac{360°}{n}[/math] [math]\frac{2\pi}{n}[/math] [math]\frac{360°}{2n}[/math] [math]\frac{\pi}{n}[/math]

4. Kakav je mnogokut koji je određen uzastupnim vrhovima rješenja jednadžbe [math]w^n=z[/math]?

konveksan nekonveksan pravilan

5. Kojim su izrazom dana rješenja jednadžbe [math]w^5=2\sqrt{3}+2i[/math]?

[math]z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{30°+k\cdot360°}{n}+i\cdot\sin\frac{30°+k\cdot360°}{n}\right),k=0,\ldots,n[/math] [math]z=\sqrt[4]{4}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{6}+2k\pi}{n}+i\cdot\sin\frac{\frac{\pi}{6}+2k\pi}{n}\right),k=0,\ldots,n-1[/math] [math]z=\sqrt[4]{4}\left(\cos\frac{\frac{\pi}{6}+k\pi}{n}+i\cdot\sin\frac{\frac{\pi}{6}+k\pi}{n}\right),k=0,\ldots,n-1[/math] [math]z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{30°-k\cdot360°}{n}-i\cdot\sin\frac{30°-k\cdot360°}{n}\right),k=0,\ldots,n-1[/math]

6. Neka od rješenja jednadžbe [math]w^5=3-i[/math] su:

[math]w=1.58\left(\cos\left(68°15'47''\right)+i\cdot\sin\left(68°15'47''\right)\right)[/math] [math]w=\sqrt[5]{10}\left(\cos3.7053+i\cdot\sin3.7053\right)[/math] [math]w=\sqrt[5]{10}\left(\cos\left(158°15'47''\right)+i\cdot\sin\left(158°15'47''\right)\right)[/math] [math]w=1.58\left(\cos\left(0.5637\right)+i\cdot\sin\left(0.5637\right)\right)[/math]

Korjenovanje kompleksnih brojeva

Information: Korjenovanje kompleksnih brojeva