[size=85][size=50][right][size=85][size=85][size=50][/size][/size][/size][/right][right][color=#980000]Diese Aktivität ist eine Seite des[i][b] geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/gz4cyje5][color=#0000ff][u][i][b]conics bicircular-quartics Darboux-cyclides[/b][/i][/u][/color][/url] [color=#ff7700][i][b](März 2021)[/b][/i][/color][br][/right][/size][/size][size=85]2 Punkte-Quadrupel mit identischer [i][b]absoluten Invariante[/b][/i] [math]\mathcal{J}[/math] lassen sich durch eine [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformation[/b][/i][/color][br]aufeinander abbilden.[br]4 verschiedene Punkte lassen sich immer auf 4 komplexe Punkte [math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] abbilden.[br]Ist die Invariante [math]\mathcal{J}[/math] für die 4 Punkte [b][i]nicht[/i][/b] reell, so sind die [color=#f1c232][i][b]Punktspiegelungen[/b][/i][/color] an den Punktepaaren [math]\left\{0,\infty\right\},\left\{-1,1\right\},\left\{-i,i\right\}[/math][br]die einzigen [color=#f1c232][i][b]Symmetrien[/b][/i][/color] dieser Punkte.[br]Lösungskurven für diesen Fall sind uns nicht bekannt.[br]Lösungsfunktionen sind doppelt-periodische elliptische Funktionen, zB. die [b]Weierstraß[/b]sche [math]\wp[/math]-Funktion, [br]wenn einer der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] als [math]\infty[/math] gewählt wird.[br][/size]

[size=85]Ist die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] [math]\mathcal{J}[/math] der vier (verschiedenen) [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] reell und ist [math]\mathcal{J}\ge0[/math], so sind[br]die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] konzyklisch und man kann sie darstellen als [math]-f,-\frac{1}{f},\frac{1}{f},f[/math] mit [math]f\in\mathbb{R},f>1[/math].[br]Die [color=#1155Cc][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] der elliptischen Differentialgleichung [math]\left(z'\right)^2=\left(z^2-f^2\right)\cdot\left(z^2-\frac{1}{f^2}\right)[/math] sind[br][color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] 2-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color], die man mit Hilfe der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] "konstruieren" kann.[br]Die Kurven sind die Winkelhalbierenden der "[color=#ff0000][b][i]Brennkreise[/i][/b][/color]", womit zB. die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der beiden [br][color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] durch [math]-f,f[/math], bzw. [math]-\frac{1}{f},\frac{1}{f}[/math] gemeint sind. [br]Die winkelhalbierenden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ([color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color]) dieser [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] sind die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color][br]der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color].[br]Die 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] können auf drei verschiedene Weisen als [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] zweier [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] [br]mit unterschiedlichen Grundpunkten gedeutet werden. [color=#1155Cc][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] sind in jedem Fall [color=#0000ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color][br]der beiden [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color]. [br][/size]

[size=85]Ist die [i][b]absolute Invariante[/b][/i] [math]\mathcal{J}[/math] der vier (verschiedenen) [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] reell und ist [math]\mathcal{J}\le0[/math], so liegen zwei der [br][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte-Paare[/b][/i][/color] spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen und [br]man kann sie darstellen als [math]-f,f,-\frac{i}{f},\frac{i}{f}[/math] mit [math]f\in\mathbb{R},f>1[/math].[br]Die [color=#1155Cc][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] der elliptischen Differentialgleichung [math]\left(z'\right)^2=\left(z^2-f^2\right)\cdot\left(z^2+\frac{1}{f^2}\right)[/math] sind[br][color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] 1-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color], die man ebenfalls mit Hilfe der [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] "konstruieren" kann.[br]Die Kurven sind die Winkelhalbierenden der "[color=#ff0000][b][i]Brennkreise[/i][/b][/color]", womit hier die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] der beiden [br][color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit [math]-f,f[/math], bzw. [math]-\frac{i}{f},\frac{i}{f}[/math] als Grundpunkten gemeint sind, wobei eines der Kreisbüschel [color=#ff0000][i][b]elliptisch[/b][/i][/color], das andere [color=#ff0000][i][b]hyperbolisch[/b][/i][/color] sein muss.[br]Die winkelhalbierenden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ([color=#BF9000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color]) dieser [color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color] sind wieder die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color][br]der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color].[br][u][i][b]Sonderfälle:[/b][/i][/u][br][list][*][math]\mathcal{J}=0[/math], zB. wenn [math]f=1[/math]: harmonische Lage, die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind konzyklisch [br]und liegen spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen.[/*][br][*][math]\mathcal{J}=-1[/math], die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind (auf der [b]Riemann[/b]schen-Zahlen-Kugel) die Eckpunkte eines [color=#0000ff][i][b]Tetraeders[/b][/i][/color].[/*][/list][br][/size]

[size=85]Zwei der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] fallen zusammen in einen Punkt, dieser sei als [math]\infty[/math] gewählt; [br]die beiden einfachen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] können als [math]f=1,f'=-1[/math] gesetzt werden.[br][color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] sind die [color=#ff7700][i][b][color=#38761D]konfokalen[/color] Kegelschnitte [/b][/i][/color]mit diesen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color].[/size]

[size=85]Ein dreifacher [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt [/b][/i][/color]wird als [math]\infty[/math], der verbleibende als [math]f=0[/math] gewählt:[br][color=#ff7700][i][b]Lösungskurven [/b][/i][/color]sind [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Parabeln[/b][/i][/color] mit diesem [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]. [/size]