[right][b][i][size=50][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/dcwdtu7t][u][color=#0000ff][i][b]Darboux Cycliden & bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color][/u][/url] [color=#ff7700][i][b](März 2021)[/b][/i][/color][/size][/size][/i][/b][br][size=50]Diese Aktivität ist auch eine Seite des[i][b] [color=#980000]geogebra-books[/color][/b][/i] [url=https://www.geogebra.org/m/gz4cyje5][color=#0000ff][u][i][b]conics bicircular-quartics Darboux-cyclides[/b][/i][/u][/color][/url] [color=#ff7700][i][b](März 2021)[/b][/i][/color][/size][/right][size=85]Auf der [color=#134F5C][i][b]Darboux Cyclide[/b][/i][/color] im Applet liegen 3 Scharen von [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color]: ([math]\hookrightarrow[/math] [size=50]siehe auch [/size][url=https://www.geogebra.org/m/dcwdtu7t#material/kreuppfv][size=50]die Seite zuvor![/size][/url])[br][/size][list][*][size=85]Außer den [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] durch die beiden singulären Doppelpunkte [math]S_{\pm z}=\pm\left(0,0,1\right)[/math] gibt es [br]2 weitere Scharen von [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color], die nicht so leicht zu erkennen sind.[/size][br][/*][/list][size=85]Wie findet man [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] auf [color=#38761D][i][b]Darboux Cycliden[/b][/i][/color]?[br]Eine die [color=#134F5C][i][b]Cyclide[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührende [/b][/i][/color][color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color] berührt die [color=#ff0000][i][b]Cyclide[/b][/i][/color] in einem [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] oder schneidet sie in 2 [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color].[br]Beispiele findet man leicht beim [math]\hookrightarrow[/math] [color=#351C75][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/dcwdtu7t#material/wthpemcw]Ring-Torus[/url][/b][/i][/color].[br][color=#999999][i][b]Doppelt-berührende[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] findet man, in dem man die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] in [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Ebenen[/b][/i][/color] [br]oder [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kugeln[/b][/i][/color] bestimmt.[br]Die [math]xy[/math]-Ebene ist eine [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Ebene[/b][/i][/color] der [color=#134F5C][i][b]Cyclide[/b][/i][/color] oben. Der Schnitt mit der [color=#BF9000][i][b]Ebene[/b][/i][/color] ist eine 2-teilige [color=#ff7700][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color].[br]Diese besitzt 4 paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonale[/b][/i][/color] [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-"Kreise"[/b][/i][/color]: die Achsen, den Einheitskreis und einen imaginären Kreis.[br]Die Spiegelung an diesem Kreis entsteht durch die Folge der Spiegelungen an den Achsen und am Einheitskreis.[br]Zu jeder Spiegelung gehört eine Schar [color=#999999][i][b]doppelt-berührender[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color].[br]Diese [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] kann man zu [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] fortsetzen.[br]Die [math]x[/math]-Achsen-symmetrischen bzw. die [math]y[/math]-Achsen-symmetrischen [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ergeben [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color], welche die [color=#134F5C][i][b]Cyclide[/b][/i][/color] von Innen,[br]bzw. von Außen in 2 [color=#ff0000][i][b]Punktkreisen[/b][/i][/color] berühren.[br]Die zum imaginären [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreis[/b][/i][/color] gehörenden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ergeben [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color], welche in den [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] durch die Punkte [math]S_{\pm z}[/math] berühren.[br]Die zum [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] [color=#0000ff][i][b]orthogonalen[/b][/i][/color] [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] liefern [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color], welche die [color=#134F5C][i][b]Cyclide[/b][/i][/color] in 2 verschiedenen [color=#ff0000][i][b][br]Kreisen[/b][/i][/color] durch die [color=#ff7700][i][b]Berührpunkte[/b][/i][/color] auf der [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color] schneiden![br]Hierbei ist bemerkenswert, dass die [color=#999999][i][b]doppelt-berührende[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color] oft auch dann in 2 reellen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] schneidet, [br]wenn die [color=#999999][i][b]Berührpunkte[/b][/i][/color] [i][b]n i c h t[/b][/i] reell sind![br][br]Oben kann man sich die [color=#999999][i][b]doppelt-berührenden[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color]- und [color=#ff0000][i][b]Kugel-Scharen[/b][/i][/color] anschauen.[br]Die zum [color=#BF9000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] symmetrischen [color=#3d85c6][i][b]Berührkugeln[/b][/i][/color] werden extra genauer angezeigt.[br][br]Die Konstruktionen verwenden die [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] der [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartik[/b][/i][/color].[/size]