По материалам сборника «Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности. Как получить максимальный балл на ЕГЭ.» Учебное пособие. / А. В. Семенов, И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. С. Трепалин, Е. А. Кукса. — Москва: Интеллект-Центр, 2015. — 128 с.[br]

Сторона [math]CD[/math] прямоугольника [math]ABCD[/math] касается некоторой окружности в точке [math]М[/math]. Продолжение стороны [math]AD[/math] пересекает окружность в точках [math]Р[/math] и [math]Q[/math], причём точка[math]Р[/math] лежит между точками [math]В[/math] и [math]Q[/math]. Прямая[math]ВС[/math] касается окружности, а точка [math]Q[/math] лежит на прямой [math]ВМ[/math].[br]а) Докажите, что [math]∠DPM=∠СВМ[/math].[br]б) Известно, что [math]СМ=5[/math] и [math]CD=8[/math]. Найдите сторону [math]AD[/math].[br][br]

I. Параллельные прямые и их свойства.

[b][i]Теорема 1. [/i][/b]Вписанный угол равен половине градусной меры дуги,[br]на которую он опирается. [br][b][i]Определение[/i][/b] (Геометрия. 7-9 классы, стр. 166): Прямая, имеющая с[br]окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.[br][b]Свойство[/b]: Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

[b][i]Теорема 2 (Геометрия. 10—11 классы, стр. 187). [/i][/b]Угол между[br]касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной[br]заключенной в нем дуги.

1)Рассмотрим оркужность с центром в точке О, произвольного радиуса. Пусть из точки C к данной окружности проведена касательная в точку В. Проведем произвольную хорду BD. В теореме просят доказать, что получившийся угол DBC измеряется половиной [math]\smile BD[/math], находящейся внутри данного угла. [br]2) Проведем диаметр BA и рассмотрим [math]\angle DAB[/math]. [math]\angle DAB[/math] является вписанным, а значит, равен половине центрального угла [math]\angle DOC[/math] , опирающего на туже дугу. Т.е. [math]\angle DAB=\frac{\angle DOC}{2}=\frac{\smile DB}{2}[/math].[br]3) Докажем теперь, что угол [math]\angle DAB=\angle DBC[/math]. Обозначим угол [math]\angle DAB=\alpha[/math]. Заметим, что [math]\angle ADB=90^{\circ}[/math], как вписанный угол опирающийся на диаметр. Тогда [math]\angle ABD=180^\circ-\angle ADB-\angle DAB=180^\circ-90^\circ-\alpha=90^\circ-\alpha[/math] (по сумме углов [math]\bigtriangleup DAB[/math]). А так как, угол между касательной и радиусом в точку касания также равен [math]90^\circ[/math], то получаем следующее равенство:[br][math]\angle DBC=\angle BAC-\angle ABD=90^\circ-\left(90^\circ-\alpha\right)=90^\circ-90^\circ+\alpha=\alpha[/math].[br]Теорема доказана, однако, лишь в частном случае, когда [math]\angle DAB[/math] острый. Рассмотрите, пожалуйста, выше указанный чертеж или его интереактивный вариант. Перенесите точку D на правую часть дуги и докажите верность данной теоремы и для полученного случая. (Подсказка: удобнее всего использовать знания о сумме смежных углов).