[color=#9900ff]Ejercicio sugerido en [b]Construcción 2.4 [/b]de [url=https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Secciones/Temas_de_Geometria/ABorbon_ManualGeogebraV11N1_2010/1_ABorbon_ManualGeogebra.pdf]MANUAL PARA GEOGEBRA[/url] Guías para geometría dinámica, animaciones y deslizadores [Alexánder Borbón A.] [/color]

Al finalizar la Construcción 2.4 ([url=https://www.geogebra.org/m/rqawfmhk#material/bsxadcwz]Párabola como lugar geométrico[/url]) se proponía lo siguiente:[br][i]"[/i][i]Si se tienen dos puntos llamados focos y se sabe que la elipse está definida por los puntos que cumplen que la suma de la distancia del punto a los focos es constante, construya una elipse."[/i][br][br]Conviene clarificar un poco más la cuestión, trayendo a colación los siguientes conceptos (extractados de [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Elipse]Wikipedia[/url]):[br][br][i][size=100][center][size=150]"Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:"[/size][/center][/size][/i][br][table][tr][td][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8a/Animaci%C3%B3n_elipse.gif[/img][/td][td]NOTA: En la elipse de la imagen [b]2[i]a[/i][/b] vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.[/td][/tr][/table][br]Vamos a necesitar refrescar algunos elementos más...

[table][tr][td][list][*]El centro de la elipse se suele nombrar [b]O[/b] (origen). (En la circunferencia los focos coinciden con el centro).[/*][*]Los [b]focos[/b] se suelen nombrar con la letra [b]F[/b] acompañada de algún medio de diferenciarlos, [b]F[sub]1[/sub] - F[sub]2[/sub][/b], o [b]F' - F" [/b].[/*][*]El [b]diámetro mayor[/b] de la elipse se suele designar 2[i]a[/i], siendo [i]a[/i] el semieje mayor. El semieje menor se denomina [i]b[/i] y el [b]diámetro menor[/b] 2[i]b[/i]. La distancia de cada foco al centro se denomina [i]c[/i].[/*][*]Los segmentos que van de cada [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)]foco[/url] a un punto de la elipse se denominan [b]radios vectores[/b]; la suma de los radios vectores de cada punto es una constante igual a 2[i]a[/i].[/*][/list][/td][td][img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/ElipseDimensionesDefinicion_b.svg/321px-ElipseDimensionesDefinicion_b.svg.png[/img][/td][/tr][/table]También vamos a usar el concepto de [b]excentricidad[/b]:[br][table][tr][td]La [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Excentricidad_(ciencias_exactas)]excentricidad[/url] [i][b]ε[/b][/i] ([url=https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%89psilon]épsilon[/url]) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra [i][b]c[/b][/i], y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.[br][br][/td][td][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Elipse1.0.jpg][img width=300,height=200]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Elipse1.0.jpg/300px-Elipse1.0.jpg[/img][/url][/td][/tr][/table]

Vamos a basar la construcción de nuestra elipse tomando como punto de partida el valor del semieje mayor [i][b]a[/b][/i], y el de su excentricidad [i][b]ε [/b];[/i] a partir de los mismos se pueden determinar los restantes valores.[br][list=1][*]Active la herramienta [b]Nuevo Punto[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon] y construya un punto O centro de la elipse; moviendo dicho punto se moverá toda la elipse en su conjunto.[i] [/i][br][u]Nota[/u]: Para cambiarle el nombre al punto se hace clic derecho sobre él y se escoje la opción Propiedades..., en la lengüeta Básico se le cambia el nombre.[/*][*]Insertar dos deslizadores [i][b]a[/b] [/i]y [i][b]ξ[/b][/i] con la herramienta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_slider.png[/icon], que permitirán al usuario modificar las dimensiones del semieje mayor (de 0 a 10), y la excentricidad (entre 0 a 1).[/*][*]Vamos a determinar los dos puntos [i][b]foco [/b][/i]usando la barra de entrada; escribimos: [br][code] F1= (x(O) - ξ*a,y(O)) [/code] y [br][code] F2= (x(O) + ξ*a,y(O))[/code][/*][*]Como vamos a emplear la idea de lugar geométrico para construir la elipse, necesitaremos una magnitud variable tal como se muestra en el gráfico superior; usaremos el radio vector asociado al foco F1 (línea azul), y llamaremos a su valor [i][b]l1[/b][/i].[br]El deslizador tendrá un valor mínimo y uno máximo dependientes de las dos variables anteriores:[br] l1 mín: [code]a (1 - ξ)[/code][br] l1 max: [code]a (1 + ξ)[/code][br][/*][*]Active la herramienta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon] [b]Circunferencia dado su Centro y uno de sus Puntos[/b] y construya una circunferencia [b]c[sub]1[/sub][/b] de radio [b][i]l[/i][/b][b][i]1[/i] [/b]y centro [b]F1[/b][sub] [/sub]. [br][/*][*]Haga una segunda circunferencia [b]c[sub]2[/sub][/b] de radio ( [b][i]2a - l[sub]1 [/sub][/i][/b])[b] [/b]y centro [b]F2[/b]. Este radio representa el valor [b][i]l[sub]2[/sub][/i][/b] del otro radio vector (el asociado al foco F2).[b] [/b][/*][*]Vamos a determinar los dos puntos [b]A[/b] y [b]B[/b] de [color=#ff0000][b][i]intersección[/i] [/b][/color]entre ambas circunferencias[i][b] [/b][/i]usando la barra de entrada; escribimos:[br][code] Interseca(c1, c2)[/code][br][b]Recordemos que por la definición, ambos puntos pertenecerán a la elipse buscada[/b][br][/*][*]Escoja la herramienta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_locus.png[/icon] [b]Lugar Geométrico[/b] para construir el lugar que se forma por el punto A cuando el deslizador [i]l[sub]1[/sub][/i] (representando al primer radio vector) cambie de valor: tendremos así la parte superior de la elipse.[br][/*][*]Repetiremos lo mismo pero tomando como base el punto B: conseguiremos ahora la parte inferior de la elipse.[/*][*]Opcionalmente podemos crear dos segmentos [i]l[sub]1[/sub][/i] y [i]l[sub]2[/sub][/i] que permitan visualizar la suma asociada a los radio vectores (cuando se mueve el punto A), y un texto que muestre que la suma de ambos segmentos es constante e igual a [i]2a.[/i][br][/*][/list]