0

een verhaal van muziek en wiskunde

chris cambré, Dec 28, 2014

Hoe ziet een toon er uit? En hoe klinkt een formule? Een overzicht van Pythagoras tot de gelijkzwevende stemming, met enkele wiskundige en muzikale uitweidingen. Extra: In een aanvullend GeoGebraboek illustreren partituurfragmenten en youtube-filmpjes de theorie: de zoektocht in klank en beeld. Opmerking over het afspelen van geluid: GeoGebra is in de eerste plaats een fantastisch wiskundeprogramma maar geen gesofisticeerd keyboard. Verschijnt er bijvoorbeeld in een grijs scherm een foutmelding over het afspelen, herlaad dan gewoon de pagina en klik gewoon opnieuw op 'speel'. Doe hetzelfde wanneer je het afspelen van een geluid niet kan stoppen. Hoor je geen geluid, probeer dan eens een andere browser... Zelfs met deze gebreken is het een unieke manier voor wiskundigen om iets over muziek te leren en omgekeerd.

geluid
1. geluid
2. geluid_frequentiespeel
3. Doppler effect
do-re-mi-fa-sol-la-si-do
1. een toonsysteem
2. toontrappen en frequenties
3. toonladders
4. kleine tertstoonladder
5. kwintencirkel
6. samenklanken en hun sinusfuncties
7. de klankkleur van een stem of instrument
8. boventonen uitgelegd
9. zwevingen bij bijna gelijke tonen
10. verdichtingen en combinatietonen
11. 3 toontrappen als basis voor een toonstelsel
12. een toonstelsel door het stapelen van kwinten
13. oeps... Pythagoras heeft een probleem
14. van waar komt die beruchte 'komma'?
15. over kwinten en tertsen... (lineair model)
16. kwinten en tertsen in een exponentieel model
17. de reine stemming
18. vergelijking Pythagoras - rein - gelijkzwevend
een muzikale zoektocht
1. kerktoonaarden
2. middentoonkwint
3. de middentoonstemming
barokstemmingen
1. van Pythagoras naar ongelijkzwevende stemmingen
2. Rameau, Werckmeister, Kirnberger, Vallotti
3. barokstemmingen in detail
4. karakter van toonaarden
5. Eén stemming voor 24 toonaarden
Huygens en kettingbreuken
1. kettingbreuk1
2. kettingbreuk2
3. kettingbreuk3
4. kettingbreuk4
5. kettingbreuk5
6. kettingbreukHuygens1
7. kettingbreukHuygens2
8. kettingbreukHuygens3
9. kettingbreukHuygens4
10. kettingbreukHuygens5
11. kettingbreukHuygens6
12. 31-tonensysteem van Christiaan Huygens
gelijkzwevende stemming
1. gelijkzwevende stemming
2. gelukkig zijn er nog de zwevingen
3. octaafverdeling in cents
4. enkele extra's
GeoGebra
1. Geluid via een actieknop
2. Frequentie in een invulvak
3. java syntax (enkel offline!)

Information

1.

geluid

Wat is geluid, hoe kunnen we geluid vatten in formules en grafisch voorstellen? Waarom horen we een naderende auto als een hogere toon dan die van een wegrijdende auto?

1. geluid
2. geluid_frequentiespeel
3. Doppler effect

1.1.

geluid

Geluid

Geluid is de waarneming van een verandering van druk in de lucht of een ander medium, b.v. water. Deze verandering plant zich voort door dit medium als een golf. Grotere drukveranderingen nemen we waar als een luidere toon. Snellere drukveranderingen nemen we waar als een hogere toon.

Een wiskundig en natuurkundig extra : waarom wordt geluid voorgesteld door sinusfuncties?

Om een snaar (of ons trommelvlies) te laten trillen, moeten we een kracht uitoefenen.

Deze kracht is (meestal en ongeveer...) evenredig met de uitwijking van snaar of trommelvlies, zodat:

, met F = kracht, - y = uitwijking en k = evenredigheidsconstante.

We kennen ook de eerste wet van Newton: , met F = kracht, m = massa en a = versnelling
Stellen we beide gelijk aan elkaar, dan krijgen we en dus
Wiskundig kan je de versnelling a schrijven als en dus: Een dergelijke vergelijking noemt men een differentiaalvergelijking. Je lost differentiaalvergelijkingen op door functies te zoeken die voldoen aan de vergelijking. Vergelijkingen die voldoen aan deze vergelijking zijn van de vorm y = a . sin ( b. t + c)

In de praktijk zal geluid bestaan uit een stapeling van meerdere sinusfuncties en ruis. Toch blijft de eenvoudige sinusfunctie de basis om geluid en muziek te bestuderen.

Een zeer uitvoerige wetenschappelijke behandeling van het onderwerp geluid en muziek vind je in het boek: Music: A Mathematical Offering (Dave Benson, University of Aberdeen Scotland, UK). De auteur behandelt zowel het produceren van geluid door verschillende types van instrumenten als de evolutie van toonsystemen en stemmingen doorheen de muziekgeschiedenis. Je vindt het boek ook online. Het pdf-document op http://hps4000.com/pages/special/sound_history.pdf geeft een goed overzicht van de geschiedenis van geluidsmeting.

perodieke functies

In periodieke functies wordt een patroon (de rode golf binnen de groene rechthoek) periodiek herhaald .

De sinusfunctie f(x) = a sin (bx) golft rond de x-as. We noemen deze as de evenwichtslijn.
De maximale uitwijking t.o.v. de evenwichtlijn noemen we de amplitude.
De versleepbare groene rechthoek bakent het patroon af dat zich herhaalt.
De lengte van dit patroon noemen we de periode van de functie.

In geluidsgolven bepaalt de amplitude de geluidssterkte en de periode de toonhoogte. Een trilling met een kortere periode trilt sneller en nemen we waar als een 'hogere' toon. Het aantal trillingen per seconde noemt men de frequentie, met als eenheid Herz (Hz).

1.2.

1.3.

2.

do-re-mi-fa-sol-la-si-do

Hoe bouwde Pythagoras ons westers toonstelsel op? Wat zijn harmonische boventonen? Wat is dat beruchte 'komma van Pythagoras' en hoe en waarom werd de Pythagorasstemming bijgestemd tot de zogenaamde reine stemming?

1. een toonsysteem
2. toontrappen en frequenties
3. toonladders
4. kleine tertstoonladder
5. kwintencirkel
6. samenklanken en hun sinusfuncties
7. de klankkleur van een stem of instrument
8. boventonen uitgelegd
9. zwevingen bij bijna gelijke tonen
10. verdichtingen en combinatietonen
11. 3 toontrappen als basis voor een toonstelsel
12. een toonstelsel door het stapelen van kwinten
13. oeps... Pythagoras heeft een probleem
14. van waar komt die beruchte 'komma'?
15. over kwinten en tertsen... (lineair model)
16. kwinten en tertsen in een exponentieel model
17. de reine stemming
18. vergelijking Pythagoras - rein - gelijkzwevend

2.1.

een toonsysteem

Theoretisch kan je elke willekeurige frequentie combineren tot muziek. Toch zingt ieder van ons zonder problemen do-re-mi-fa-sol-la-si-do mee met de Sound of Music. Om samen muziek te maken, kunnen we niet zonder - een systeem van tonen die bij elkaar passen. - een referentietoon voor muzikanten en instrumentenbouwers.

Tot de 19e eeuw is er geen sprake van een internationale standaard. Zelfs lokaal worden verschillende toonhoogten gebruikt. In de 18e eeuw worden de eerste stemvorken gemaakt, maar steeds nog zonder erkende standaard. In de 19e eeuw leggen meerdere landen eigen standaarden vast, maar internationaal blijft het wachten tot 1955, wanneer het ISO (International Organisation for Standardization) de la (A) = 440 Hz aanneemt als norm. Toch is er een een trend om in symfonische orkesten de la iets hoger te nemen. Reeds in 6^e eeuw gebruikte de filosoof Boetius de letters van het Latijns alfabet als naam voor de opeenvolgende tonen, startend met de A voor de toon die wij la noemen. Onze notennamen komen van de monnik Guido van Arezzo die rond het jaar 1000 een bekende hymne gebruikte. De tekst luidt: ut(do) queant laxis resonare fibris mira gestorum famuli tuorum solve polluti labii reatum Sancte Iohannes De hymne begint iedere regel een secunde hoger. Guido van Arezzo gebruikte de beginlettergrepen ut-re-mi-fa-sol-la en begon dus niet met de la (A) In de 19^e eeuw werd ut vervangen door ‘do’ en noemde men de 7^e trap si.

Toets je op een piano een la in, dan neem je dus een luchtdrukgolf waar die 440 keer per seconde trilt. Op een piano staat niet een maar meerdere la's:

De toonafstand tussen twee opeenvolgende la's noemt men een octaaf. Speel je een la een octaaf hoger, dan klinkt een trilling met een frequentie die tweemaal zo hoog is. Speel je een la een octaaf lager, dan is de frequentie van de trilling maar half zo groot.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18.

3.

een muzikale zoektocht

Een toonstemming is één zaak, muziek maken een andere. We volgen de eerste stappen van de kerktoonaarden naar de eerste polyfonie en ontdekken hoe de terts, het 'lelijke eendje' in de middeleeuwse muziek, binnengehaald wordt via een nieuwe stemming: de middentoonstemming.

1. kerktoonaarden
2. middentoonkwint
3. de middentoonstemming

3.1.

kerktoonaarden

"Zing of speel eens een toonladder". De kans is groot dat je op deze vraag iets te horen krijgt als do - re - mi -fa - sol -la - si - do.

Deze zogenaamde 'grote tertstoonladder' is een opeenvolging van 7 stamtonen do-re-mi-fa-sol-la-si. Wanneer we een toonladder zingen, plaatsen we spontaan dezelfde afstanden van hele en halve tonen op dezelfde plaatsen in de toonladder, met welke toon we ook beginnen. Zo zingen we 'la - si - do# - re - mi - fa# - sol# - la' zonder te moeten nadenken over toonafstanden. In de middeleeuwen kende men deze opeenvolging, maar men ging er ander mee om. In de middeleeuwse kerktoonladders hangt de afstand tussen de tonen niet af van de plaats binnen de toonladder. Wanneer een toonladder begint met een andere toon dan do worden tonen niet verhoogd of verlaagd. De volgorde waarin hele en halve tonen elkaar afwisselen hangt dus af van de begintoon.

De reine stemming kent grote en kleine hele tonen, afhankelijk van de plaats in de toonladder. Een 'juiste' reine stemming in C klinkt vals in een andere toonaard, omdat de verhoudingen niet meer kloppen. Omdat in de kerktoonladders de afstanden niet afhangen van de plaats in de toonladder kennen ze dat probleem niet. Is de toonladder juist gestemd in C, dan klinken meteen ook alle andere toonaarden juist.

3.2.

3.3.

4.

barokstemmingen

Met de middentoonstemming is het verhaal van ons westers toonsysteem lang nog niet aan zijn eind. Barokcomponisten en instrumentenbouwers ontwikkelen tal van varianten om meer muzikale expressiemogelijkheden te creëren.

1. van Pythagoras naar ongelijkzwevende stemmingen
2. Rameau, Werckmeister, Kirnberger, Vallotti
3. barokstemmingen in detail
4. karakter van toonaarden
5. Eén stemming voor 24 toonaarden

4.1.

van Pythagoras naar ongelijkzwevende stemmingen

Muziekwetenschappers en wiskundigen zoeken oplossingen voor de problemen die zich stellen met de stemming van Pythagoras en de reine stemming. We verlopen nog een keer de problemen en verkennen enkele oplossingen die uitgewerkt werden door Rameau, Werckmeister, Kirnberger en Valotti. De meesten van hen werkten meer dan een voorstel uit. Om het hoe en waarom van deze stemmingen beter te begrijpen overlopen we nog even het verhaal vanaf Pythagoras over de reine stemming tot de middentoonstemming.

Pythagoras

uitgangspunt	Tonen verhouden zich als gehele getallen
realisatie	Alle afstanden worden opgebouwd vanuit de reine kwintverhouding 3/2
probleem	Kwinten sluiten niet aan op octaven en tertsen. Een terts die opgebouwd is vanuit een kwint is niet rein en klinkt te hoog.
muziek	- veel samenklanken van kwinten. - tertsen worden vermeden

reine stemming

In de reine stemming wordt de kwintafhankelijkheid van de terts opgegeven.

uitgangspunt	De kwintafhankelijkheid van de terts opgegeven.
realisatie	Secunde en kwart worden opgebouwd vanuit de reine kwintverhouding 3/2. De terts krijgt de reine verhouding 5/4. Sext en septime worden opgebouwd vanuit de terts.
probleem	Een toonladder bestaat uit grote en kleine halve tonen.
muziek	Een muziekstuk staat in de toonaard waarin het instrument rein gestemd is.

De afstand do - re is een grote hele toon met verhouding 9/8. De afstand re - mi is een kleine hele toon met verhouding 10/9. De verhouding tussen beide noemen we het syntonische komma = 81/80.

middentoonstemming

Door de kwintafhankelijk van tertsen op te geven werden de tertsen wel terug rein, maar sloot men zich op in een toonaard. Een grotere vrijheid tussen toonaarden is slechts mogelijk met tertsen, bepaald door de kwint. De enige mogelijkheid om tertsen terug rein(er) te krijgen is dus de kwint te verkleinen. Dit noemt men temperen. De middentoonstemming verlaagt de kwint met 1/4 van een komma.

Met het komma bedoelen we het syntonisch komma 81/80
1/4 van dit komma bereken je als ⁴√(81/80)
De kwint verlagen met 1/4e komma bereken je als 3/2 : ⁴√(81/80)

De kwintverhouding wordt daarmee 3/2 : ⁴√(81/80) = 3/2 : ⁴√(3⁴/2⁴.5) = 3/2 : 3/2 . ⁴√5 = ⁴√5 = 1,49535 Dit is wiskundig mooi gevonden, want de tertsverhouding komt nu perfect uit op 5/4: De terts verhouding is gelijk aan 4 kwinten : 2 octaven = ⁴√5 x ⁴√5 x ⁴√5 x ⁴√5 :4 = (⁴√5)⁴ : 4 = 5 : 4. Resultaat:

De terts is perfect rein.
De kwint is iets te klein maar wijkt nauwelijks af van de 3/2 verhouding.
Alle afstanden kunnen berekend worden vanuit de kwint.
De afstanden C-D en D-E zijn even groot en niet meer groot en klein zoals in de reine stemming.

uitgangspunt	De tertsen moeten afgeleid worden van de kwint en tegelijk rein klinken.
realisatie	De kwintverhouding 3/2 wordt verkleind met 1/4e komma tot ⁴√5 = 1,49535
probleem	De kwintencirkel sluit zeer slecht. De sluitende kwint is veel te groot. Ze wordt wolfskwint genoemd en moet vermeden worden.
muziek	Het vermijden van wolfskwint beperkt nog de onafhankelijkheid van toonaarden.

ongelijkzwevende stemmingen

Alle tertsen rein maken door de kwinten te verkleinen tot de middentoonskwint is niet te verzoenen met een vrijheid van toonaarden. Omdat in de barokmuziek die vraag naar meer harmonische vrijheid groter wordt, moet ook hier weer een compromis gezocht worden. Dit compromis bestaat er in om het aantal verlaagde kwinten in de kwintencirkel te beperken. In de 17e en 18e ontwikkelen diverse componisten uiteenlopende stemmingen. Omdat alle kwinten in de kwintencirkel niet meer gelijk zijn, zullen ook de onderlinge verhoudingen tussen de verschillende toontrappen in verschillende toonaarden niet meer gelijk zijn. Je kunt dus niet zeggen: "zo klikt deze stemming", maar wel "zo klinkt deze toonaard in deze stemming." Het uitgangspunt van elke poging is wel steeds hetzelfde:

zo rein mogelijke tertsen in de meest gebruikte toonaarden
een zo goed mogelijk aansluitende kwintencirkel om in zo veel mogelijk toonaarden te kunnen spelen.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

5.

Huygens en kettingbreuken

Als wetenschapper ontwikkeld Christiaan Huygens een heel apart toonsysteem dat wiskundig mooi in elkaar steekt. Er worden ook instrumenten gebouwd, maar heel praktisch blijkt het toch niet te zijn.

1. kettingbreuk1
2. kettingbreuk2
3. kettingbreuk3
4. kettingbreuk4
5. kettingbreuk5
6. kettingbreukHuygens1
7. kettingbreukHuygens2
8. kettingbreukHuygens3
9. kettingbreukHuygens4
10. kettingbreukHuygens5
11. kettingbreukHuygens6
12. 31-tonensysteem van Christiaan Huygens

5.1.

kettingbreuk1

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

6.

gelijkzwevende stemming

Het streven naar reine samenklanken en het schuiven met stukjes van de Pythagorese komma naar hier en daar wordt verlaten en ingeruild voor de gelijkzwevende stemming.

1. gelijkzwevende stemming
2. gelukkig zijn er nog de zwevingen
3. octaafverdeling in cents
4. enkele extra's

6.1.

gelijkzwevende stemming

De gelijkzwevende stemming in een toonladder met 12 stappen

Muziek met een beperkte toonomvang en een vaste toonaard kon het best stellen met de reine stemming. In de 16e eeuw doet men de eerste pogingen om de verschillen tussen de toonafstanden weg te werken, zodat men tenminste in verschillende toonaarden zou kunnen spelen. In verschillende pogingen worden compromissen en streefdoelen in de weegschaal gelegd. Ook de Kerk moeit zich, want die vindt kerkorgels die onzuiver gestemd zijn niet kunnen. Het theoretisch denken en de muziekpraktijk evolueren geleidelijk naar een systeem waarin de onderlinge verhoudingen binnen alle toonaarden gelijk zijn en men vrij is om toonaarden te kiezen. In de muziek wordt de samenklank belangrijker dan de melodie en het wijzigen van toonaard binnen een compositie wordt gebruikt als expressief middel. De oplossing hiervoor vindt men in het verdelen van de onzuiverheden over alle halve tonen van een octaaf. Deze verdeling bleek een beter compromis tussen juistheid en het praktische. De verdeling in 12 trappen is de gelijkzwevende stemming van onze chromatische toonladder: do(1) - do#(2) - re(3) - mi(4) - fa(5) - fa#(6) - sol(7) - sol#(8) - la(9) - la#(10) - si(11) - do(12). In 12 stapjes ga je van do naar do. In deze gelijkzwevende stemming is bijvoorbeeld sol# gelijk aan lab en dat laat overgangen tussen toonaarden toe. In grote orkestwerken als een symfonie werd het gebruikelijk om binnen een werk meerdere keren te veranderen van toonaard en een hele evolutie van toonaarden uit te bouwen. Maar ook in populaire muziek is het niet ongebruikelijk dat in een kort instrumentaal bruggetje de toonaard verandert en een refrein nog een keer klinkt, maar nu een halve toon hoger. Van fluiten en composities die beperkt waren tot een vaste toonaard evolueert dus tegelijk de muziektheorie, de composities en de instrumenten tot een flexibel systeem van uitwisselbare toonaarden. We gaven hierbij wel de absoluutheid van reine intervallen op...

Hoe verdeel je een octaaf in 12?

Octaven vind je door de frequentie van een toon telkens te vermenigvuldigen met 2. Het resultaat is dus geen lineaire functie maar met een exponentiële functie. De frequentie van opeenvolgende la's vind je als

^.De tussenliggende tonen berekenen we als tussentrapjes van deze factor 2:

GeoGebra

1. Geluid via een actieknop
2. Frequentie in een invulvak
3. java syntax (enkel offline!)

0

een verhaal van muziek en wiskunde

Table of Contents

Information

geluid

geluid

Geluid

Een wiskundig en natuurkundig extra : waarom wordt geluid voorgesteld door sinusfuncties?

perodieke functies

do-re-mi-fa-sol-la-si-do

een toonsysteem

een muzikale zoektocht

kerktoonaarden

barokstemmingen

van Pythagoras naar ongelijkzwevende stemmingen

Pythagoras

reine stemming

middentoonstemming

ongelijkzwevende stemmingen

Huygens en kettingbreuken

kettingbreuk1

gelijkzwevende stemming

gelijkzwevende stemming

De gelijkzwevende stemming in een toonladder met 12 stappen

Hoe verdeel je een octaaf in 12?

GeoGebra

Geluid via een actieknop