[size=50]D[/size][size=50]iese Übersicht wurde 1982 von Hand, mit Bleistift, Tusche, Zirkel und Lineal erstellt. Stark vergilbt! [/size]

[right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. ([color=#ff0000][b]Juli 2019 [/b][/color]verbessert [color=#cc0000][b]Jan. 2021[/b][/color])[/size][/right][size=50]Die Begriffe [color=#cc0000][i][b]elliptisches[/b][/i][/color] / [color=#38761D][i][b]hyperbolisches[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] wurden nachträglich dem allgemeinen Sprachgebrauch angeglichen. [br][/size][size=50]In den [i][b]pdf[/b][/i]-Skripten wurde dies nicht verbessert![br][size=85][u][i][b]Zur Klärung: [/b][/i][/u][br][/size][/size][list][*][size=50][size=85][color=#cc0000][i][b]elliptische Kreisbüschel[/b][/i][/color] bestehen aus allen [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] durch zwei verschiedene Punkte, den Grundpunkten des Büschels[/size][/size][/*][*][size=50][size=85]ein [color=#38761D][i][b]hyperbolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] besteht aus allen [i][b]orthogonalen[/b][/i] Kreisen eines [color=#cc0000][i][b]elliptischen Kreisbüschels [/b][/i][/color]durch 2 Grundpunkte[/size][/size][/*][/list]

Sämtliche [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Gewebe[/b][/i][/color], welche sich aus [color=#0000ff][i][b]W-Kurvenscharen[/b][/i][/color] in der [b]MOEBIUS[/b]-Ebene bilden lassen - [br]dazu gehören insbesondere [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Gewebe[/b][/i][/color] aus [b][color=#9900ff][i]Kreisbüscheln[/i][/color][/b] - , sind in der folgenden Liste erfasst:[br][br][b](I)[/b] Drei Kreisbüschel, deren Achsen im [math]\mathbb{P}_3[/math] sich in einem Punkt schneiden.[br][table] [tr][br] [td] [/td][br] [td] [size=85]Die Kreise der 3 Büschel sind sämtlich orthogonal zu einem festen, möglicherweise imaginären Kreis, bzw. sie gehen [br]im Ausartungsfall durch einen festen Punkt in der [b]MOEBIUS[/b]-Ebene. [br]Da die zu einem festen Kreis orthogonalen Kreise die [color=#0000ff][i]GERADEN[/i][/color] der zugehörigen Untergeometrie sind, kann man [br]diesen Fall wie folgt deuten:[br]In jeder der 3 Untergeometrien ([color=#ff7700][i][b]euklidisch[/b][/i][/color], [color=#ff7700][i][b]hyperbolisch[/b][/i][/color] oder [color=#ff7700][i][b]elliptisch[/b][/i][/color]) bilden 3 GERADEN-Büschel stets [br]ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Netz[/b][/i][/color][/size][/td][br][/tr][br][/table][br][b](II)[/b] Drei verschiedene Isogonalscharen eines [color=#9900ff][i]elliptischen[/i][/color] [color=#9900ff][i]Kreisbüschels[/i][/color] [size=50](Anzahl der Pole: 2)[/size][br][table][tr][td] [/td][td][size=85]Zu den 3 Scharen können höchsten 2 Kreisbüschel gehören.[/size][/td][/tr][/table][br][b](III)[/b] Zwei verschiedene [i][color=#9900ff]parabolische Kreisbüschel[/color][/i] mit verschiedenen Polen [math]p_1[/math], [math]p_2[/math], welche einen Kreis[br]gemeinsam haben; dazu das [color=#9900ff][i]hyperbolische[/i][/color] und das dazu polare [color=#9900ff][i]elliptische Kreisbüschel[/i][/color] mit den [br]beiden Polen [math]p_1,p_2[/math]. Diese 4 Kreisbüschel bilden ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-4-Gewebe[/b][/i][/color] der besonderen Art: [br]das jeweils 4. Büschel ist Diagonal-Netz der anderen. [size=50](Anzahl der Pole: 2)[/size][br][br][b](IV)[/b] Zwei beliebige [color=#9900ff][i]parabolische Büschel[/i][/color] mit verschiedenen Polen [math]p_1,p_2[/math] und das [color=#9900ff][i]elliptische Büschel [/i][/color][br]durch die beiden Pole. [size=50](Anzahl der Pole: 2)[/size] [br][size=50]Falls die beiden parabolischen Büschel einen Kreis gemeinsam haben, liegt Fall (III) vor! [/size][br][br][b](V)[/b] Ein [color=#9900ff][i]elliptisches Büschel[/i][/color], eine Schar von [color=#9900ff][i]Isogonaltrajektorien[/i][/color] dieses Büschels und [br]ein [color=#9900ff][i]parabolisches Büschel[/i][/color] durch einen der beiden Pole. [size=50](Anzahl der Pole: 2)[/size] [br][br][b](VI)[/b] Ein [color=#9900ff][i]hyperbolisches Kreisbüschel[/i][/color] und zwei zueinander [color=#9900ff][i]orthogonale parabolische Kreisbüschel [/i][/color][br]durch einen der beiden Pole des [color=#9900ff][i][color=#9900ff][i]hyperbolischen[/i][/color] [/i][/color]Büschels. [size=50](Anzahl der Pole: 2)[/size][br][br][b](VII)[/b] Drei [color=#9900ff][i]elliptische Kreisbüschel[/i][/color], die paarweise einen Pol gemeinsam haben.[br][i]Allgemeiner[/i]: Für jeden festen Schnittwinkel ergeben die [color=#9900ff][i]Isogonaltrajektorien[/i][/color] der 3 [color=#9900ff][i]elliptischen[/i][/color] Büschel [br]ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Netz[/b][/i][/color]. [size=50](Anzahl der Pole: 3)[/size][br][br][b](VIII) [/b]In derselben Situation bilden 2 der [color=#9900ff][i][color=#9900ff][i]elliptischen[/i][/color] Kreisbüschel[/i][/color] mit den [i][color=#9900ff]Isogonaltrajektorien[/color][/i] [br]des 3. Büschels zu einem beliebigen festen Winkel ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Netz[/b][/i][/color]. [size=50](Anzahl der Pole: 3)[/size][br][br][b](IX)[/b] Ein [color=#9900ff][i]hyperbolisches Kreisbüschel[/i][/color] mit den Polen [math]p_1,p_2[/math], zwei [color=#9900ff][i][color=#9900ff][i]elliptische[/i][/color] Kreisbüschel[/i][/color] mit den [br]Polen [math]p_1,p_3[/math] bzw. [math]p_2,p_3[/math] und ein [color=#9900ff][i]parabolisches Kreisbüschel[/i][/color] mit dem Pol [math]p_3[/math], dessen Kreise [br][color=#9900ff][i]orthogonal[/i][/color] zu dem Kreis durch [math]p_1,p_2,p_3[/math] sind, bilden ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-4-Gewebe[/b][/i][/color], [size=85][br]allerdings ohne die Diagonaleigenschaft[/size]. [size=50](Anzahl der Pole: 3)[/size][br][br][b](X)[/b] 6 [color=#9900ff][i]Kreisbüschel[/i][/color], deren Achsen im [b]MOEBIUS[/b]-Geradenraum ein [color=#9900ff][i]Polartetraeder[/i][/color] bilden, erzeugen [br]ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-6[/b][/i][/color]-Gewebe. Die 6 Pole diese 6 Kreisbüschel sind die Schnittpunkte von 4 paarweise [br]orthogonalen Kreisen.[br][table][tr][td] [/td][td][size=85][/size][size=85]Jeweils 3 dieser 6 Kreisbüschel bilden ein 6-Eck-Netz. Einige dieser Möglichkeiten gehören zum Fall [b](I)[/b][/size]. [/td][/tr][/table][br][br]

[size=85]Dass es sich bei den Fällen um [color=#ff0000][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] handelt, kann man mit den angeführten Methoden nachweisen, dies wird [br]auf den folgenden Seiten teilweise geschehen.[br]Mit einer guten Mathematik-[b]CAS[/b]-Software kann man für die einzelnen Fälle die Gleichung [icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon]von [br]Seite [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/vzetbajq]Formeln [/url]nachprüfen.[br]Mit der leider nicht mehr gepflegten [b]CAS[/b]-Software [color=#ff00ff][i][b]derive[/b][/i][/color] haben wir die [color=#ff0000][i][b]Sechseck-Bedingung[/b][/i][/color] allgemein [br]als Funktion in [math]\mathbb{C}[/math] und den 3 in Frage stehenden komplexen Vektor-Infinitesimalen [math]\mathbf{\vec{g}}_1,\mathbf{\vec{g}}_2,\mathbf{\vec{g}}_3[/math] aufgestellt [br]und die folgenden Erfahrungen gemacht:[br]In allen Fällen, in denen 6-Eck-Netze vorliegen, hat die Gleichung [icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon] in Sekundenbruchteilen 0 ergeben.[br]Bei der Überprüfung anderer Fälle ergaben sich nicht endende Rechenzeiten oder nach sehr, sehr langen [br]Rechenzeiten [/size][size=85][size=85]Polynom-Ausdrücke [/size]in x,y und den Variablen in hoher Ordnung und über viele Seiten! [br][br]Wir haben versucht, die Gleichung [icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon] aufzuteilen (mit der Vermutung, sie könnte überflüssige Teile enthalten!). [br]Mit dem Ergebnis, dass die einzelnen Teile für die verschiedenen Fälle ganz unterschiedlich reagierten: [br][u][i]Andeutung[/i][/u]: Gleichung = GL1 + GL2 +GL3; man erhielt alle Kombinationen: zB: GL1= -GL2 und GL3 = 0 und, und und ....[br]Auf der Suche nach einem einfachen [color=#ff0000][i][b]6-Eck-Kriterium[/b][/i][/color] half uns das nicht weiter![br][br][color=#674ea7][i][b]Wir hoffen auf die Kreativität junger experimentierender Mathematiker![br][/b][/i][b][size=100][br][/size][/b][/color][b][size=100]!!! In der pdf-Datei sind die Bezeichnungen [br][/size][/b][color=#674ea7][b][size=100][br]   [/size][/b][/color][color=#ff0000][size=100][b][i]elliptisch[/i][/b][/size][/color][color=#674ea7][b][size=100] - [/size][/b][/color][color=#ff0000][b][size=100][i]hyperbolisch[/i][/size][/b][/color][color=#674ea7][b][size=100] [br][br][/size][/b][/color][b][size=100]zu vertauschen!!![/size][/b][br][/size]