Fotografía de [url=https://www.geogebra.org/u/deborapereiro]Débora Pereiro[/url].
Universidad
Table of Contents
- Números
- Representamos varios intervalos en la recta numérica
- Intersección de dos intervalos en la recta numérica
- Intersección de conjuntos de intervalos en la recta numérica
- Desigualdades y conjuntos de intervalos en la recta
- Desigualdades e intersecciones de conjuntos de intervalos
- Operaciones en notación científica
- Anualidades de Capitalización. Interés compuesto. Rentas pospagables y prepagables
- Potencias con signos en bases y exponentes contrarreloj. Cálculo mental
- Geometría plana
- Resolución de triángulos rectángulos
- Resolución de triángulos utilizando trigonometría
- Composición de rotación y traslación
- Ortocentro de los triángulos inscritos en una circunferencia
- Centros de los triángulos equiláteros inscritos en una cónica
- Ejercicio. Rectas paralelas congruentes
- ¿Todos los triángulos son isósceles? (Ejercicio)
- Triángulos y circunferencias. Ejercicios
- Cuadrados. Propiedad para demostrar (Ejercicio).
- Triángulos (isósceles). Propiedad para demostrar [Ejercicio]
- ¿Cuál es el área sombreada?
- ¿Cuál es el valor del área sombreada?
- Ejercicio. Calcula la distancia
- Calcula el área sombreada
- Puntos de corte de dos tangentes a una circunferencia
- Mediana, altura y bisectriz en un triángulo rectángulo
- Composición de simetrías centrales
- ¿Quién está más cerca?
- Ilusión óptica. Polígonos y circunferencias
- Elementos de la Circunferencia y del Círculo
- Espirales, iris y girasoles
- Circunferencias tangentes interior y exterior a un sector circular
- Semicírculos tangentes. Área que ocupan
- Cuadrados inscritos en círculos. Ejercicio
- Centros de las circunferencias tangentes comunes a dos circunferencias
- Tamiz de Apolonio
- Pie de la perpendicular a la tangente a una circunferencia. Lugar geométrico
- Divide un cuadrilátero en dos partes iguales
- Lugar geométrico. Puntos medios
- Potencia de un punto respecto una circunferencia
- Porisma de Poncelet. Polígonos bicéntricos; con circuncentro e incentro
- Trazando cuadriláteros... de área máxima
- Pantógrafo. Homotecias y Teorema de Thales
- Cuadrilátero generado con intersecciones de semicircunferencias
- Geometría del espacio
- Composición de dos Rotaciones de un Tetraedro
- Modelado Geométrico
- Superfie reglada entre dos elipses
- Simetrías de los Sólidos Platónicos
- Sólidos Platónicos
- Generador de flores
- Cuerpos a partir de la revolución de un polígono regular
- Transformación Esfera-Cilindro-Cubo
- Fusión de curvas
- Esfera y cubo
- Composición de rotación y simetría de un cubo
- Dodecaedro y endododecaedro (piroedro)
- Teselación del espacio con el Octaedro Truncado
- Estructura de Weaire-Phelan para rellenar el espacio
- Proyectamos una curva sobre la esfera
- Escaleras infinitas. Ilusión óptica
- Esponja fractal de Menger. Generación por traslaciones
- Esfera y cilindro
- Esferas tangentes entre sí e inversión
- Bóveda de Crucería
- El cubo del príncipe Rupert
- Triángulo de Selmi. Triángulo fractal imposible
- Modelos de superficies
- Conchas de Caracol, hélices y sacacorchos
- Superficies tipo seno y coseno
- Superficie mínima de Richmond
- Lugar geométrico. Helicoide. Superficie de Dini a partir de una tractriz
- Superficie del ocho y generalizaciones
- Superficies de Boy y Romana de Steiner
- Venus Etrusca (superficie de Cox y Francis)
- Superficie Minimal de Costa
- Superficies cíclicas
- Hiperboloides
- Torso de pendiente constante sobre un hiperboloide de revolución
- Superficies cuárticas con varios planos de simetría. Goursat
- Álgebra
- Algoritmo de Euclídes para calcular el MCD
- Ecuaciones diofánticas
- Criptografía RSA... los Números Primos nos protegen
- Hormiguero
- Producto escalar de vectores en el espacio
- Suma de los primeros cuadrados perfectos
- Suma de una progresion geométrica
- Suma de las potencias de las raíces complejas de la unidad
- Flores y áreas de recintos
- Cociente de Polinomios
- Razones trigonométricas inversas contrarreloj (grados)
- Razones trigonométricas inversas en radianes. Contrarreloj
- Radianes y razones trigonométricas. Contrarreloj
- Razones trigonométricas contrarreloj (grados)
- Inversa de una matriz 3x3
- Sucesiones y series telescópicas e hipergeométricas
- Funciones
- Flores generadas por funciones
- Mezcla funciones y mira sus proyecciones
- El número de oro en los polinomios de cuarto grado
- Simetrías respecto los ejes y el origen, y función inversa
- Transformaciones elementales de funciones
- Signos de la derivada de una función
- Funciones poligonales
- Dibujamos funciones mediante curvas
- Gráficos distancia-tiempo
- Integral definida (Riemann)
- Función de Lambert y ecuaciones exponenciales
- Macetero
- Ecuaciones
- Exponenciales con cambio de base [transformables en cúbicas]
- Exponenciales con diferentes bases
- Ec. trigonométricas (factorizables)
- Problemas de Compras. Sistemas de 3 ecuaciones. Precios (y núm. enteros)
- Mezclas. Sistemas de 3 ecuaciones [Enteros]
- Coordenadas
- Coordenadas polares (con grados)
- Coordenadas polares (con radianes)
- Coordenadas polares (en grados-sin marcar)
- Coordenadas polares (en radianes-sin marcar)
- Estadística
- Diagrama de caja con diagrama de puntos
- Dispersión. Variables discretas [mediante cálculo de desviaciones]
- Dispersión. Variables Discretas [mediante sumas de cuadrados]
- Dispersión. Variables Continuas [mediante cálculo de desviaciones]
- Dispersión. Variables Continuas [mediante sumas de cuadrados]
- Diagramas de Tallo y hoja [stem-and-leaf] y de Caja [box-and-whisker]
- V. Atipicos, Tallo y hoja [stem-and-leaf] y diagrama de caja [box-and-whisker]
- Diagramas de caja (box-and-whisker plot). Ejercicios
- V. Atípicos y Cajas (Box-and-whisker plot). Ejercicios
- Comparar Variables mediante Diagramas de Caja
- Números Complejos
- Ecuaciones con soluciones complejas (segundo grado)
- Suma de las potencias de las raíces complejas de la unidad
Representamos varios intervalos en la recta numérica
Resolución de triángulos rectángulos
Instrucciones (ejercicios)
[list][br][*]Para que un ejercicio sea correcto, los tres datos deben contestarse correctamente. Se admite cierto margen de error.[/*][*]Introduce los números [b]decimales utilizando un punto.[/b][br][/*][*]Es aconsejable utilizar al menos tres decimales en los cálculos con razones trigonométricas inversas.[br][/*][*]Cada [b]ejercicio [/b]correcto vale [b]1.25 puntos[/b], hasta un máximo de 10. Los fallos no penalizan.[/*][*]Podemos intentar tantas fichas como queramos.[/*][br][/list]
Instrucciones. Applet
[list][*]Utiliza los botones con forma de aspa "[color=#980000]➤[/color]" para cambiar el orden en que se nombran los elementos.[/*][*]El botón de la parte inferior con dos triángulos verdes sirve para dibujar el triángulo simétrico.[/*][*]Arrastrando el punto con forma de rombo [b]◆[/b] giraremos el triángulo, y pulsándolo se inicia/diene el giro automático.[br][/*][/list][list][*]Podemos elegir introducir nuestros propios datos o usar datos generados al azar, pulsando en el bocadillo del pesonaje. Con los datos al azar, se nos ofrece la posibilidad de ver cómo resolver el triángulo.[/*][/list]
Composición de dos Rotaciones de un Tetraedro
Visualización de la composición de las rotaciones respecto los centros de dos caras adyacentes en un tetraedro regular
Conchas de Caracol, hélices y sacacorchos
Estas superficies se obtienen al hacer girar una circunferencia o una elipse alrededor de un eje, al tiempo que la trasladamos en la dirección de ese eje, aumentamos su tamaño y la alejamos del eje.[br][list][*]Según La forma de hacer las traslaciones y aumentar el tamaño, la superficie tendrá una forma diferente.[/*][*]Más concretamente, dependiendo de si los diámetros y la distancia al eje son constantes o no, obtendremos conchas de caracol, hélices, toros, etc.[br][/*][/list][br]En la siguiente actividad podemos ver una concha de caracol:
Concha de caracol de crecimiento exponencial
Deducción de las ecuaciones paramétricas cartesianas
Para generar una concha de caracol, podemos partir de una circunferencia o una elipse y [br][list][*]hacerla girar [i]n[/i] veces alrededor de un eje,[/*][*]a la vez que aplicamos una traslación en la dirección del eje. [/*][*]Como la sección de la concha va disminuyendo/aumentando, también aplicamos un factor de escala. Mantenemos las circunferencias tangentes al eje de rotación.[/*][*]En la última vuelta, el centro de la correspondiente circunferencia estará a una altura [math]h_n[/math] y una distancia [math]r_n[/math] del eje.[br][/*][*]Por ejemplo, podemos utilizar crecimiento exponencial, con funciones como [math]r(u)=r_n\cdot\frac{ℯ^{\Large{\frac{u}{2\pi\cdot n}}}-1}{ℯ-1}[/math], o bien [math]h(u)=(h_n+1)^{\Large\frac{u}{2\pi\cdot n}}-1[/math], o cualesquiera otras crecientes que se anulen para [i]u=0[/i] y, para [math]u=2\pi\cdot n[/math] valgan [math]r_n[/math] y [math]h_n[/math], respectivamente.[br][br][/*][/list]Con esto, una modelización de la concha de caracol en ecuaciones paramétricas cartesianas sería[br][center][math][br]\left\{[br]\begin{array}{rll}[br]x=& &\phantom{-}\left(r{\small(u)}\cdot cos(v)+r{\small(u)}\right)cos(u)[br]\\[br]y=& &\phantom{-}\left(r{\small(u)} \cdot cos(v)+r{\small(u)}\right)sen(u), [br]\\[br]z=&\!\!\!h{\small(u)}\!\!\!&+ \phantom{(}r{\small(u)}\cdot sen(v)[br]\end{array}[br]\right.,\text{ para }{{0\leq v< 2\pi}\atop{0\leq u<2\pi\cdot n.}}[br][/math][/center][list][*]Los factores [i]cos(u)[/i] y [i]sen(u)[/i] que aparecen en las expresiones para [i]x[/i] e [i]y[/i], son los utilizados para girar alrededor del eje que, en este caso, se ha tomado vertical.[/*][*]Mientras giramos, construimos las circunferencias de radio [i]r(u)[/i] correspondientes a cada ángulo girado [i]u[/i], utilizando la componente [i]z[/i].[br][list][*]Para ello, incluimos el factor[i] r(u)·sen(v)[/i] en esa componente [i]z[/i]. [/*][*]Para que sean tangentes al eje, deben distar de él [i]f(u)[/i], por ser ese su radio. [br]Así que, en las componentes [i]x[/i] e [i]y[/i], aparece el factor [math]r(u)cos(v)+r(u)=r(u)·(cos(v)+1)[/math] que también podríamos reescribir utilizando la identidad [math]cos(v)+1=2cos^2\left(\frac{v}{2}\right)[/math].[br][/*][/list][/*][*]Si queremos que las secciones resulten elipses, tales que el cociente entre su eje vertical y horizontal sea [i]k[/i], bastará con reemplazar la expresión de [i]z[/i] por [i]z=h(u)+k · r(u)·sen(v)[/i].[br][/*][/list]
Generalizaciones
Podemos separar el centro de cada circunferencia una distancia [i]R(u)[/i] del eje sin más que reemplazar el sumando [i]r(u)[/i] por [i]R(u)[/i] en las expresiones de x e y antes de multiplicar por [i]cos(u)[/i] y [i]sen(v)[/i].[br][br]En particular, tomando[br][list][*]Una vuelta (n=1), el radio de cada circunferencia constante [i]r[/i], una separación constante [i]R[/i] y altura h=0, tendremos la ecuación del [b]toro[/b].[center][math][br]\left\{[br]\begin{array}{rl}[br]x=&\left(r\cdot cos(v)+R\right)cos(u)[br]\\[br]y=&\left(r \cdot cos(v)+R\right)sen(u), [br]\\[br]z=&\phantom{(}r\cdot sen(v)[br]\end{array}[br]\right.,\text{ para }{0\leq u,v< 2\pi}.[br][/math][/center][/*][*]Tomando el radio y separación de cada circunferencia constante y [math]h{\small(u)}:=h\cdot\frac{u}{2\pi\cdot n}[/math] lineal, resulta una [b]hélice[/b] de radio de giro [i]R[/i], sección de radio r y [i]n[/i] vueltas de paso [i]h[/i].[br][center][math][br]\left\{[br]\begin{array}{rll}[br]x=& &\phantom{-}\left(r\cdot cos(v)+R\right)cos(u)[br]\\[br]y=& &\phantom{-}\left(r \cdot cos(v)+R\right)sen(u), [br]\\[br]z=&\!\!\!h\frac{u}{2\pi\cdot n}\!\!\!&+ \phantom{(}r\cdot sen(v)[br]\end{array}[br]\right.,\text{ para }{{0\leq v< 2\pi}\atop{0\leq u<2\pi\cdot n.}}[br][/math][/center][/*][*]Tomando como [i]R[/i] una función lineal, tendríamos una hélice cónica.[br][/*][/list]Con la siguiente actividad, podemos explorar algunas posibilidades:
Hélices generalizadas
Sacacorchos
Otro caso particular serían las superficies tipo "sacacorchos", que se obtienen como las anteriores, pero situando el centro de las circunferencias sobre el eje (R=0).[br]La ecuación paramétrica resultaría, por tanto:[br][center][math][br]\left\{[br]\begin{array}{rll}[br]x=& &\phantom{-}r\cdot cos(v)\cdot cos(u)[br]\\[br]y=& &\phantom{-}r \cdot cos(v)\cdot sen(u), [br]\\[br]z=&\!\!\!h\frac{u}{2\pi\cdot n}\!\!\!&+r\cdot sen(v)[br]\end{array}[br]\right.,\text{ para }{{0\leq v< 2\pi}\atop{0\leq u<2\pi\cdot n.}}[br][/math][/center]
Algoritmo de Euclídes para calcular el MCD
Podemos calcular el Máximo Común Divisor de dos números sin tener que descomponerlo en producto de números primos. Basta con hacer algunas divisiones.[br]Se hace utilizando el "algoritmo de Eculides". Vamos a aprender cómo se aplica:
Flores generadas por funciones
[list][*]Vamos a crear nuestras propias flores utilizando el conocimiento que tenemos de las funciones elementales.[/*][*]Podemos modificar la función que aparece en las casillas para cambiar el aspecto de la flor.[/*][*]Si las funciones de los bordes no coinciden en ningún punto, o queremos recortarlas un poco, podemos utilizar el punto rojo para limitar hasta dónde llegan los pétalos.[/*][/list]
[list][*]Podemos utilizar el botón derecho para girar la vista 3D, y marcar/desmarcar la casilla para mostrarla u ocultarla.[/*][/list]
Fíjate en las funciones
[b]A)[/b] Hemos multiplicado por números muy pequeñitos: 0.2 y 0.1. ¿Qué ocurriría si utilizásemos números mayores? (podemos comprobarlo modificando las funciones)
[b]B)[/b] Una forma cómoda de conseguir que las funciones comiencen en (0,0) es que "x" aparezca como factor. ¿Cómo afecta el otro factor a la forma de la función? ¿Qué tipo de función es?
[b]C) [/b]Curvatura[br][list=1][*]¿Cómo definirías la función "Perfil" para que los pétalos sean completamente planos y horizontales? ¿Y para que estén inclinados pero sin curvarse? [br][/*][*]Define los bordes utilizando las funciones Borde1=0.1x(x-4) y Borde2=0.2x(x-4). ¿Cómo es su curvatura? ¿Dónde se encuentra su vértice?[/*][*]Utiliza Borde1=2 (x/3)², Borde2=2 (x/3)^4. Fíjate en que no siempre al elevar al cuadrado se obtiene un número menor que al elevar la cuarta potencia . ¿A partir de qué número "x" se produce esta diferencia? Utiliza tus palabras para relacionarlo con la curvatura de esas funciones.[/*][/list]
[b]D)[/b] Para el perfil, hemos utilizado la función cos(x). Como en 0 vale 1, le hemos aplicado una transformación para que la gráfica pase por (0,0). [br][list=1][*]¿De qué tipo es?[/*][*]¿Qué otra cosa podíamos haber hecho? Modifica la función y explica qué ocurre con el perfil de los pétalos de la flor.[/*][*]Utiliza como perfil la función 2sen(x)*cos(x) y luego la función sen(2x). ¿Aprecias alguna diferencia? ¿Por qué crees que será?[/*][/list]
[b]E)[/b] Trigonometría.[br]Prueba a utilizar otros perfiles y funciones trigonométricas. Por ejemplo, [br][list][*]sen(4x) ¿qué ocurre al multiplicar por un número el argumento de la función seno?[br][/*][*]x+sen(x) ¿qué ocurre al sumar funciones?[br][/*][*]sen(x) - cos(x) + 1. Haz diferentes pruebas con combinaciones de estas funciones. ¿Qué puedes apreciar en su comportamiento?¿Siguen siendo periódicas?[/*][/list]
[b]F)[/b] Simetrías[br][list=1][*]¿Cómo debemos definir las funciones de los bordes para que el "eje-x" (abscisas) sea de simetría del pétalo inicial (en el plano)?[/*][*]Con las funciones Borde1=sqrt(2x) y Borde2=x^2/2, también se obtiene un eje de simetría pero no es horizontal ni vertical. ¿Cuál es? ¿Por qué?[/*][*]¿Qué función debería ser Borde2 para conseguir esa misma simetría si definiésemos Borde1=ln(4x+1)?[br][/*][/list]
Exponenciales con cambio de base [transformables en cúbicas]
Coordenadas polares (con grados)
Instrucciones
[list][*]Durante el juego, tendremos que colocar un punto en las coordenadas indicadas, o bien averiguar las coordenadas del punto que nos muestren. [br][/*][*]En ocasiones aparecerán ángulos negativos en el medidor. Debemos conocer su correspondencia con los positivos.[/*][*]La primera componente es la distancia del punto al centro, y la segunda el ángulo. [b]No[/b] hay que introducir el símbolo de grado: º .[/*][*]Cada ficha correcta vale 1 punto, pero cada fallo también se penaliza con 1 punto.[/*][*]Podemos hacer tantas fichas como queramos, se conservará la mayor puntuación alcanzada.[br]Tenemos un contador de cuántas fichas hemos acertado, y cuántas hemos intentado. [br][/*][/list]¿Conseguiremos llegar al [b]máximo de 10 puntos[/b] de esta actividad?
Diagrama de caja con diagrama de puntos
Instrucciones
[list][*]Desplaza los puntos de color negro para modificar el diagrama de puntos. Se mostrarán los datos correspondientes a la nueva situación.[/*][*]La parte central del a caja nos da una idea de la [b]dispersión [/b]de los datos, que podemos estimar mediante el rango intercuartílico IQR=Q3-Q1. (Inter-Quartile Range, en inglés).[br][/*][*]Consideramos valores atípicos (outliers) aquellos que están por encima de Q3+1,5·IQR, o por debajo de Q1-1,5·IQR.[/*][*]Para el [b]cálculo de la mediana[/b], tomamos el dato que divide el conjunto de datos en dos: [br][list][*]antes de él hay la misma cantidad de datos que después.[br]Por ejemplo, si los datos son 2,4,9,10,12, la mediana es 9. Usaremos los conjuntos 2,4 y 10, 12 para el cálculo de los cuartiles.[br][/*][*]Si la cantidad de datos es par, tomamos la media de los dos datos más cercanos a la mitad.[br]Por ejemplo, si los datos son 2,2,4,9,10,12, la mediana sería la media de 4 y 9: 6,5. Para el cálculo de los cuartiles usaremos 2,2,4 y 9,10,12.[br][/*][/list][/*][*]Para el cálculo de los [b]cuartiles[/b]: tomamos las medianas correspondientes a cada cada uno de los conjuntos en que dividimos los datos al calcular la mediana.[/*][*]Podemos visualizar la [b]media[/b] para compararla con la mediana. Al usar la media, medimos la dispersión utilizando la desviación (muestral). Junto la media se muestran los intervalos resultantes al sumar 1 o 2 veces la desviación. [br][/*][/list][br][b]Ejercicios[/b]:[br][list][*]Debemos crear un conjunto de datos donde los parámetros sean los indicados. No se tendrán en cuenta los valores atípicos.[/*][*]Para que el ejercicio sea correcto, todos los parámetros deben coincidir.[/*][*][b]Pista[/b]: los cuartiles dividen el conjunto de datos en 4 zonas. En cada una de ellas debe haber la misma cantidad de datos.[br][b]Truco[/b]: por ejemplo, podemos colocar 23 datos (en orden) de la siguiente forma: [br]5 datos; Q1; 5 datos; Mediana; 5 datos; Q3; 5 datos.[br][/*][*]Cada ejercicio [b]correcto[/b] vale [b]2 puntos[/b]. Los fallos penalizan 0,5 pts. El tiempo no influye en la puntuación.[/*][*]Podemos hacer tantas fichas como queramos. Podremos ver el recuento de aciertos e intentos.[br][/*][/list]
Ecuaciones con soluciones complejas (segundo grado)
Ecuaciones con soluciones complejas (segundo grado)
Mueve los puntos azules y verdes para seleccionar la zona en la que se encontrará la solución.