Trigonometrische Funktionen
Table of Contents
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis
- Das Bogenmaß
- Sinusfunktion und Kosinusfunktion
- Die Entstehung der Sinus- und Kosinusfunktion am Einheitskreis
- Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion
- Funktionen der Form f(x)=a sin(x)
- Funktionen der Form f(x)=sin(bx)
- Die allgemeine Sinusfunktion
- Trigonometrische Gleichungen
- TrigonometrischeGleichungen
- TrigonometrischeGleichungen_cos
- Anwendung trigonometrischer Funktionen
- Trigo_Modellieren1_V01
- Trigo_Modellieren2_V01
- Trigo_Modellieren3_V02
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck
In der Mittelstufe wurden Sinus und Kosinus (und Tangens) im rechtwinkligen Dreieck über die drei Seiten des Dreiecks definiert. [br][br]Der Winkel [math]\alpha[/math] kann nur Werte zwischen 0 und 90° annehmen.
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1. (siehe Abbildung)[br]P ist ein Punkt auf dem Einheitskreis. P ist ein Punkt auf einem rechtwinkligen Dreieck.[br]Für den Winkel [math]\alpha[/math] ist die x-Koordinate von P die Ankathete und seine y-Koordinate ist die Gegenkathete. [br]Die Hypotenuse ist 1. [br]Als gilt:[br][list][*][math]sin\left(\alpha\right)=\frac{y_p}{1}=y_p[/math][br][/*][*][math]cos\left(\alpha\right)=\frac{x_p}{1}=x_p[/math][br][/*][/list]
[br]Dies lässt sich verallgemeinern:[br][br]Für den Winkel [math]\alpha[/math] mit [math]0^\circ\le\alpha\le360^\circ[/math] und dem durch [math]\alpha[/math] auf dem Einheitskreis festgelegten Punkt [math]P\left(x_p|y_p\right)[/math] wird [math]sin\left(\alpha\right)=y_P[/math] und [math]cos\left(\alpha\right)=x_P[/math] definiert.[br][br][br][size=150]Arbeitsauftrag[/size][br]Bewege P und beobachte, wie sich [math]sin\left(\alpha\right)[/math] und [math]cos\left(\alpha\right)[/math] verändern.
Gibt den Werte für [math]sin\left(120^\circ\right)[/math] und cos([math]cos\left(120^\circ\right)[/math] ein.
Gibt den Werte für [math]sin\left(200^\circ\right)[/math] und cos([math]cos\left(200^\circ\right)[/math] ein.
Bestimme alle Winkel mit [math]0^\circ\le\alpha\le360^\circ[/math], für die cos([math]\alpha[/math])=0.5 gilt
Bestimme alle Winkel mit [math]0^\circ\le\alpha\le360^\circ[/math], für die sin([math]\alpha[/math])=-0.75 gilt
Die Entstehung der Sinus- und Kosinusfunktion am Einheitskreis
Bewege den rote Punkt P durch den Einheitskreis in der linken Darstellung.[br][br]Beobachte wie im rechten Bild die Schaubilder von sin(x) und cos(x) entstehen.
Erkläre, wie die Sinusfunktion entsteht.[br]Setze dazu folgenden Satz fort:[br]Der Punkt P liegt auf dem Einheitskreis. Die Sinusfunktion entsteht, indem ...[br][br]Verwende dabei die Begriffe:[br][list][*]x-Koordinate des Punkts P oder y-Koordinate des Punktes P[/*][*]Bogenlänge x (Winkel im Bogenmaß)[br][/*][/list]
Erkläre wie die Kosinusfunktion steht.
Gib drei Winkel (im Bogenmaß) an, für die gilt: sin(x)=0. [br]Begründe am Einheitskreis. (Im Stil bei x=? Ist die y/x-Koordinate von P …)
Gib drei Winkel (im Bogenmaß) an, für die gilt: sin(x)=1.
Gib drei Winkel (im Bogenmaß) an, für die gilt cos(x)=0.
Gib zwei Winkel an, bei denen cos(x)=sin(x)
Funktionen der Form f(x)=a sin(x)
Dargestellt sind Sinusfunktionen der Form f(x)=a sin(x).[br]Bewege den roten Punkt und beobachte wie sich sich das Schaubild und der Term verändern.
Verschiebe den roten Punkt, so dass Du den Term f(x)=2 sin(x) erhältst. [br]Was stimmt?
Verschiebe den roten Punkt so, dass Du den Term f(x)=-sin(x) erhältst. [br]Beschreibe, wie sich das Schaubild verändert hat.
TrigonometrischeGleichungen
Mit trigonmetrischen Funktionen kann man nicht nur den Funktionswert zu einem gegebenem x berechnen, wie etwa [math]f(x)=\sin(x)[/math] mit [math]x=$\frac{\pi}{3}[/math]: [math]f(\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{3})\approx0.867[/math], [br]sondern auch bei vorgebenem y-Wert den x-Wert berechnen: [math]\sin(x)=0.7[/math].[br][br]Grafisch und mit Geogebra lässt sich die Aufgabe leicht lösen (Gib die Antworten unten ein).[br][list=1][*]Bestimme die Lösungen für graphisch. Verschiebe dazu den roten Punkt, so dass die die Lösungen ablesen kannst.[/*][*]Die Lösung x1 (x-Wert von S1) kann man mit dem Taschenrechner berechnen. Probier es aus! [/*][*]Mit den Symmetrieeigenschaften der Sinusfunktion kann man x2 (x-Wert von S2) bestimmen. Finde heraus wie! [/*][*]Aufgrund der Periodizität der Sinusfunktion kann man x3 bestimmen. Finder heraus wie! [/*][*]Wie kommt man zu x4?[br][/*][/list]
Frage 1
Welche Werte lösen sin(x)=0.7
Frage 2
Bestimme mit dem Taschenrechner eine Lösung von [math]\sin(x)=0.7[/math]. [br]Achtung auf Rad umstellen! [br][br]Trage Dein Ergebnis hier ein:
Frage 3
Wenn man x1 hat: Wie bestimmt man x2?
Frage 4
Wenn man x1 hat: Wie bestimmt man x3?
Frage 5
Erläutere wie man x4 bestimmt!