Zusammenfassung

Verknüpfung von Streckung und Verschiebung in Y-Richtung

Parabeln können sowohl mit einem Faktor [math]a[/math] gestreckt, getaucht und gespiegelt sein, [br]also auch in Y-Richtung um [math]d[/math] verschoben werden. [br][br]Beide Parameter [math]a[/math] und [math]d[/math] tauchen dann in der Funktionsgleichung auf: [br][math]f\left(x\right)=a\cdot x^2+d[/math]

Schaue dir die Abbildung genau an.

Wenn man die Normalparabel (1, Graph der Funktion [math]f\left(x\right)=x^2[/math]) mit einem Faktor [math]a[/math] streckt oder staucht, dann wird sie schmaler oder breiter. [br]Den Streckfaktor [math]a[/math] kann man am Punkt ablesen, der eine X-Einheit neben dem Scheitelpunkt liegt. [br]Hier fragt man sich: [br]Wie hat sich der Funktionswert (Y-Wert) [i]verändert [/i]in Bezug zum Funktionswert des Scheitelpunkts?[br][br]Die Parabel 2 ist eine gestauchte Parabel. Der Faktor [math]a[/math] ist hier 0,2. [br]Somit lautet die Funktionsgleichung [math]g\left(x\right)=0,2\cdot x^2[/math].[br][br]Auch diese Parabel kann man in Y-Richtung verschieben (siehe Pfeil). [br]Im Beispiel wurde sie um [math]d=+3[/math] in Y-Richtung verschoben. [br]Sie ist weiterhin mit dem Faktor [math]a=0,2[/math] gestaucht. [br](Das erkennt man daran, dass der Scheitelpunkt des Y-Wert 3 hat und der Y-Wert des Punkt B 3,2 ist. Wir betrachten also den Scheitelpunkt und den Punkt eine X-Einheit daneben und die Veränderung der beiden Funktionswerte (Y-Werte). )[br][br]Die Funktionsgleichung zu Graph 3 lautet also: [math]h\left(x\right)=0,2x^2+3[/math].

In dem Applet kannst du die Normalparabel ([math]a=1[/math], [math]d=0[/math]) strecken, stauchen und spiegeln sowie in Y-Richtung verschieben. [br][br]Stelle [math]d=-3[/math] und [math]a=1,5[/math] ein.

Welche Eigenschaften treffen auf die Parabel zu? Kreuze an.

Die Parabel hat keine Nullstelle. Der Scheitelpunkt liegt bei [math]S\left(0|3\right)[/math]. Die Parabel ist nach oben geöffnet. Die Parabel hat zwei Nullstellen. Die Parabel hat genau eine Nullstelle. Die Parabel ist gespiegelt. Die Parabel ist gestaucht. Die Parabel ist nach unten geöffnet. Die Parabel ist gestreckt.

Welche Eigenschaften hat die Funktion [math]f\left(x\right)=-2x^2-1[/math]? Kreuze an.

Die Parabel hat keine Nullstelle. Die Parabel ist gespiegelt. Die Parabel ist nach unten geöffnet. Die Parabel ist gestaucht. Die Parabel hat zwei Nullstellen. Die Parabel ist gestreckt. Der Scheitelpunkt liegt bei [math]S\left(0|-1\right)[/math]. Die Parabel ist nach oben geöffnet. Die Parabel hat genau eine Nullstelle.

Du kannst die Parameter oben im Applet einstellen und deine Vermutungen überprüfen.

Verlauf der Graphen.

Gegeben ist die Funktion [math]p\left(x\right)=0,5x^2-4[/math]. Gib zwei Punkte an, durch die sie verläuft. [br][br][b]Hilfe: [/b][br][br][i][size=85]Punkte werden mit Großbuchstaben bezeichnet und haben eine x- und eine y-Koordinate. [br][br]Du kennst die Koordinaten des Scheitelpunkts und du kennst auch Eigenschaften der Punkte, die eine x-Einheit neben dem Scheitelpunkt liegen. [/size][/i]

Nullstellen berechnen

Quadratische Funktionen haben entweder keine, eine oder zwei Nullstellen. [br]Nullstellen sind die Schnittstellen (x-Werte) der Funktion mit der X-Achse. [br]An Nullstellen ist der Funktionswert (Y-Wert) [math]=0[/math]. [br][br]Überlegungen zur Lage des Scheitelpunkts und der Öffnung (nach oben/ nach unten) führen einen auch ohne Rechnung zur [b]Anzahl[/b] der Nullstellen. [br][br]Man kann die Schnittstelle auch berechnen. [br][b]Vollziehe[/b] die Rechnung [b]nach[/b] und [b]verinnerliche[/b] die korrekte mathematische Form. [br][br]Beispielaufgabe: [br][b]Berechne[/b] die Nullstellen der Funktion [math]t\left(x\right)=0,5x^2-2[/math].[br][br][i]An Nullstellen ist der Funktionswert 0, also [math]t\left(x\right)=0[/math]. (Dieser Satz muss aufgeschrieben sein)[br][br][math]0=0,5x^2-2[/math] [math]|+2[/math][br][math]2=0,5x^2[/math] [math]|:0,5[/math][br][/i][math]4=x^2[/math] [math]|\frac{+}{-}\sqrt{ }[/math][br][math]x_1=+\sqrt{4}=2[/math] und [math]x_2=-\sqrt{4}=-2[/math]

Jetzt du!

Berechne die Nullstellen der Funktionen[br]a) [math]d\left(x\right)=2x^2-8[/math] [br]b) [math]m\left(x\right)=-3x^2+3[/math][br]c) [math]z\left(x\right)=0,75x^2+4[/math][br][br]Überprüfe deine Rechnung über die Eingabe hier.