Trigonometrische Funktionen
In diesem Lernpfad lernst du Trigonometrische Funktionen kennen Dazu gehören die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion Du wirst [list] [*]die Definition von Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck und anschließend mithilfe des Einheitskreises wiederholen, [*]das Bogenmaß kennenlernen, [*]herausfinden, wie die Graphen der Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens aussehen, [*]mit der Veränderung der Funktionsgraphen experimentieren, [*]die Begriffe, Periodenlänge und Amplitude kennenlernen und [/list]
Table of Contents
- Der Einheitskreis
- Der Einheitskreis
- Das Bogenmaß
- Das Bogenmaß
- Übungen: Winkel in Winkelmaß und Bogenmaß
- Sinus, Kosinus und Tangensfunktionen
- Die Sinus-Funktion
- Allgemeine Sinus-Funktion
- Beispiele
- Die allgemeine Sinusfunktion
- Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion - Regeln
- Übungen
Der Einheitskreis
Aufgabe:
Lies dir folgende Informationen durch. Mache dir Notizen mit geeigneten Skizzen.[br]
Der Einheitskreis
Um Sinus, Cosinus und Tangens auch für Winkel definieren zu können, die größer sind als 90° sind, verwendet man den Einheitskreis.[br][br][b]Was ist der Einheitskreis?[/b][br]Darunter versteht man einen Kreis mit dem Radius von 1. Manchmal zeichnet man sich noch ein Koordinatensystem ein. Der Ursprung dieses Koordinatensystems fällt mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammen. Ein Einheitskreis sieht so aus:
Lässt man nun einen Punkt auf dem Einheitskreis entlanglaufen, so entstehen rechtwinkelige Dreiecke. Wobei der rechte Winkel immer an der x-Achse liegt und die Hypotenuse immer aus dem Radius des Einheitskreises gebildet wird. Ihre Länge ist also immer 1.
Den Winkel, den der Radius mit der x-Achse (gegen den Uhrzeigersinn gemessen) einschließt, nennen wir [math]\alpha[/math]. Die blaue Strecke ist also die Gegenkathete von [math]\alpha[/math] und die rote Strecke ist die Ankathete von [math]\alpha[/math]. Die Hypotenuse ist ja der Radius selbst, also die schwarze Strecke. [br]Nun gilt:[br][br][math]sin\alpha=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{Gegenkathete}{1}=Gegenkathete=y-Koordinate[/math] [i]von P[br][/i][br][math]cos\alpha=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}=\frac{Ankathete}{1}=Ankathete=x-Koordinate[/math][i] von P[br][br][/i]Auf diese Weise lassen sich Werte für [math]sin\alpha[/math] und [math]cos\alpha[/math] definieren, auch wenn [math]\alpha[/math] größer ist als 90°. Diese können nun auch negative Werte annehmen.[br][br]Außerdem erhält man den Tangens, indem man die Gegenkathete durch die Ankathete teilt:[br][br][math]tan\alpha=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}[/math]
[b]Aufgabe: [/b]Begründe, warum gilt: [math]tan\left(\alpha\right)=\frac{sin\left(\alpha\right)}{cos\left(\alpha\right)}[/math]
Das Bogenmaß
[b]Aufgabe:[/b] Schau dir das folgende Video zum Bogenmaß an und mache dir Notizen und Skizzen
Regel
Umwandeln von Gradmaß in Bogenmaß (und umgekehrt):[br][br][img width=375,height=182]https://cdn.geogebra.org/resource/Bc2jbVjE/psCFg1KW8cmPV2vC/material-Bc2jbVjE.png[/img]
Hier kannst du das Bogenmaß am Einheitskreis ausprobieren:
Hier siehst du einen Unterschied zwischen Bogenmaß und Gradmaß: Während das Gradmaß unabhängig von der Größe des Kreises ist, verändert sich das Bogenmaß, wenn der Kreis größer oder kleiner wird:[br]
Die Sinus-Funktion
Die Sinusfunktion
Die Sinusfunktion entsteht, indem man auf der x-Achse die Winkel (im Bogen- oder im Gradmaß) und auf der y-Achse den zugeordneten Sinus-Wert einträgt.[br][br]In der Regel verwendet man -anders als bei unseren ersten Beispielen- das Bogenmaß als Winkelmaß, weil dies für viele Anwendungen besser geeignet ist. [br][br]Es gibt aber kein Gesetz, was dies vorschreibt. Üblicherweise verwendet man immer dann, wenn man Winkel in Zusammenhang mit Funktionen betrachtet das Bogenmaß und ansonsten das Gradmaß.
Weitere Winkelfunktionen
Genau so funktioniert dies auch für Kosinus und Tangens:
Beispiele
In diesem Kapitel untersuchst du, wie sich der Graph der Sinus- und Cosinusfunktion ändert, wenn die Funktionsgleichung durch Parameter erweitert wird.[br]
AUFGABE:
[list][*]Zeichne die Graphen der Funktionen f, g, h und i in dasselbe Koordinatensystem[/*][*][math]f(x)=sin(x)[/math][br][math]g(x)=2\cdot sin\left(x\right)[/math][br][math]h(x)=sin(2\cdot x)[/math][br][math]i(x)=-sin(x)[/math][/*][*]Erkläre, welche Zusammenhänge zwischen den Graphen der Funktionen von f, g, h und i erkennbar sind.[/*][*]Wie oft "schwingt" der Graph von g, h und i im Intervall [math]\left[0;2\pi\right][/math]?[/*][/list]