Wir betrachten die Funktion [math]f\left(x\right)=0,5x^2+0,5[/math].[br]Auf dem Graphen von f liegen die Punkte P(1|f(1)) und Q(2|f(2)).

Wir betrachten nun was passiert, wenn wir den Punkt Q entlang des Graphen auf den Punkt P zubewegen. Betrachte dazu das folgende Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von h verändern. Je kleiner h ist, desto näher liegt Q an P.

Skizziere den Graphen inklusive der Sekante für h=1 in dein Heft ein. [br]Finde durch Veränderung am Schieberegler folgende Sekantensteigungen und notiere sie in einer Tabelle im Heft:

Wählst du h=0, so liegt Q auf P. Aus der Sekante (die den Graphen in zwei Punkten schneidet) ist eine [b]Tangente[/b] geworden, die den Graphen an der Stelle P [b]berührt[/b]. Die Tangente schmiegt sich an den Graphen an, so dass die Steigung der Tangente gleich der Steigung des Graphen an der Stelle x=1 ist. [br][br]Wir bestimmen also den Grenzwert des [b]Differenzenquotienten:[/b] [br]Um mathematisch auszudrücken, dass h immer kleiner wurde, verwenden wir den Begriff des [b]Grenzwertes[/b]: [br][math]\lim_{h\longrightarrow0}[/math](lies: Limes für h gegen 0) bedeutet, dass wir den Grenzwert bilden, wenn h immer kleiner wird.

[size=150][size=100]Schreibt folgenden Merksatz in euer Heft: [br][br]Die Steigung eines Graphen an einer Stelle [math]x_0[/math] kann über die Tangentensteigung bestimmt werden. Sie kann mit dem [b]Grenzwert des Differenzenquotienten[/b] berechnet werden und wird als [b]Ableitung [math]f'[/math] an der Stelle [math]x_0[/math] [/b]bezeichnet:[/size][br][math]f'\left(x_0\right)=\lim_{x\longrightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math][br][/size]

Oben hast du für die Funktion [math]f\left(x\right)=0,5x^2+0,5[/math] die Tangentensteigung an der Stelle [math]x=1[/math] bestimmt. Die Tangentensteigung und damit die Steigung des Graphen ist an dieser Stelle 1. [br]Wir schreiben: [br][math]f'\left(1\right)=1[/math] (lies: Die Ableitung von f an der Stelle [math]x=1[/math] ist 1.