In questo capitolo introduciamo la seconda parte di questo argomento, che apparentemente è completamente scollegato da quello degli integrali indefiniti. [br][br]Per capire il problema che si propone di risolvere lo strumento dell'integrale definito, vediamo un esempio nella seguente animazione.

[color=#ff0000][size=150]CONCETTO E DEFINIZIONE DI INTEGRALE DEFINITO[br][/size][/color]Vediamo di fare il punto su quanto introdotto dall'animazione.[br][br]Il concetto di integrale definito nasce dalla necessità di calcolare la misura dell'area sottesa al grafico di una funzione, perché essa è legata a grandezze associate alla funzione stessa. Più precisamente, [b]l'integrale definito indica la misura dell'area compresa tra l'asse delle ascisse ed il grafico della funzione[/b].[br][br]Questo calcolo viene ottenuto tramite un'approssimazione, in cui la funzione originale viene sostituita con una funzione costante a tratti; il valore assunto in ogni tratto è uno di quelli assunti dalla funzione in quell'intervallo ed al proposito si possono fare varie scelte. In questo modo l'area cercata è pari alla sommatoria di contributi, ognuno dei quali è l'area di un rettangolino compreso tra un tratto di funzione e l'asse delle ascisse.[br][br][math]\Large{S_N=\sum_{i=1}^{N} f(x_i) \cdot \Delta x_i}[/math][br][br]Si vede anche graficamente che questa approssimazione è tanto più accurata tanto più frequente è la campionatura della funzione, ovvero tanto più numerosi e stretti sono gli intervalli in cui si registra l'effettivo valore della funzione originale e lo si usa per costruire la funzione definita a tratti. Puoi osservare questo aspetto al seguente indirizzo, dove ti sarà possibile definire una funzione qualsiasi ed impostare e variare a piacimento le sue modalità di approssimazione.[br][br][url=http://www.shodor.org/interactivate/activities/Integrate/]http://www.shodor.org/interactivate/activities/Integrate/[br][br][/url][Primi sul tasto [b]Integrate![/b] per vedere l'approssimazione; puoi poi modificare i vari parametri, come il numero di intervalli, per vedere l'effetto][br][br]Per rendere questa approssimazione sempre più precisa e farla tendere al risultato esatto, dovremo avere sempre più intervalli, ognuno dei quali sempre più stretto. [b]In altre parole si tratta di considerare il limite di questa espressione per l'ampiezza degli intervalli che tende a zero. Questo limite è solo simbolico, cioè ne è chiaro il significato ma non lo si può calcolare matematicamente: dovremo giungere al risultato per altra via[/b]. Il ragionamento porta tuttavia all'introduzione di una nuova simbologia, spiegata nell'animazione.[br][br] [math]\Large{S = \lim_{\Delta x\to 0} S_N=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{i=1}^{N} f(x_i) \cdot \Delta x_i = \int _a^b f(x)\cdot dx}[/math][br][br][b][color=#ff0000]La scrittura [math]\large{\int _a^b f(x)\cdot dx}[/math] indica l'area compresa tra il grafico della funzione [math]\large{f(x)}[/math] e l'asse delle ascisse, nel tratto compreso tra i valori [math]\large{x=a}[/math] e [math]\large{x=b}[/math], ed è chiamato INTEGRALE DEFINITO di [math]\large{f(x)}[/math] tra [math]\large{a}[/math] e [math]\large{b}[/math][/color][/b].[br][br]Vedremo come è possibile calcolarlo, e come tale calcolo sia direttamente collegato alle primitive della funzione [math]\large{f(x)}[/math], cioè al suo integrale indefinito.[br]