Neste caso são fornecidas três retas distintas r, s e t e devemos encontrar os círculos tangentes a todas elas.

[b]1. As três retas concorrem duas a duas, mas não no mesmo ponto:[/b] Há quatro soluções;[br][b]2. Duas retas paralelas e uma transversal:[/b] Há duas soluções;[br][b]3. As três retas são paralelas entre si:[/b] Não há solução;[br][b]4. As três retas concorrem no mesmo ponto:[/b] Não há solução.

(1-6) São dadas três retas r, s e t, que determinam um triângulo T;[br](7) São construídas as bissetrizes i[sub]1[/sub] e e[sub]1[/sub] das retas r e s, bissetrizes interna e externa do triângulo T;[br](8) São construídas as bissetrizes i[sub]2[/sub] e e[sub]2[/sub] das retas r e t, bissetrizes interna e externa do triângulo T;[br](9) É determinado o ponto O[sub]1[/sub] de interseção entre as bissetrizes externas;[br](10) É construída a reta p[sub]1[/sub] perpendicular a r (ou a s ou a t) passando por O[sub]1[/sub];[br](11) É determinado o ponto T[sub]1[/sub] de interseção entre p[sub]1[/sub] e r;[br](12) É traçado o círculo c[sub]1[/sub] de centro O[sub]1[/sub].[br](13) É determinado o ponto O[sub]2[/sub] de interseção entre as bissetrizes internas;[br](14) É construída a reta p[sub]2[/sub] perpendicular a r (ou a s ou a t) passando por O[sub]2[/sub];[br](15) É determinado o ponto T[sub]2[/sub] de interseção entre p[sub]2[/sub] e r;[br](16) É traçado o círculo c[sub]2[/sub] de centro O[sub]2[/sub].[br](17) É determinado o ponto O[sub]3[/sub] de interseção entre i[sub]2[/sub] e e[sub]1[/sub];[br](18) É construída a reta p[sub]3[/sub] perpendicular a r (ou a s ou a t) passando por O[sub]3[/sub];[br](19) É determinado o ponto T[sub]3[/sub] de interseção entre p[sub]3[/sub] e r;[br](20) É traçado o círculo c[sub]3[/sub] de centro O[sub]3[/sub].[br](21) É determinado o ponto O[sub]4[/sub] de interseção entre i[sub]1[/sub] e e[sub]2[/sub];[br](22) É construída a reta p[sub]4[/sub] perpendicular a r (ou a s ou a t) passando por O[sub]3[/sub];[br](23) É determinado o ponto D de interseção entre p[sub]4[/sub] e r;[br](24) É traçado o círculo c[sub]4[/sub] de centro O[sub]4[/sub].

 Queremos determinar os centros O[sub]1[/sub], O[sub]2[/sub], O[sub]3[/sub] e O[sub]4[/sub] de todos os círculos que solucionam este caso. Os mesmos devem estar localizados equidistantes as retas r, s e t, ou seja, sobre duas das bissetrizes, assim, têm de ser os pontos de interseção entre estas. Como as circunferências que resolvem o caso devem ser tangentes as três retas inicialmente dadas, precisamos encontrar os pontos de tangência com estas retas, os quais serão os pés das perpendiculares a uma das retas dadas (digamos r) passando pelos centros O[sub]1[/sub], O[sub]2[/sub], O[sub]3[/sub] e O[sub]4[/sub]. Com os centros e um ponto de cada um dos círculos, estes ficam determinados.

(1-7) São dadas três retas r, s e t;[br](8) São construídas as bissetrizes interna e externa i[sub]1[/sub] e e[sub]1[/sub] das retas r e t;[br](9) são construídas as bissetrizes interna e externa i[sub]2[/sub] e e[sub]2[/sub] das retas s e t;[br](10) É determinado o ponto O[sub]1[/sub] de interseção entre i[sub]1[/sub] e e[sub]2[/sub];[br](11) É determinado o ponto O[sub]2[/sub] de interseção entre i[sub]2[/sub] e e[sub]1[/sub];[br](12) É construída a reta p[sub]1[/sub] perpendicular a r (ou a s ou a t) passando por O[sub]1[/sub];[br](13) É construída a reta p[sub]2[/sub] perpendicular a r (ou a s ou a t) passando por O[sub]2[/sub];[br](14) É determinado o ponto A de interseção entre p[sub]1[/sub] e r;[br](15) É determinado o ponto B de interseção entre p[sub]2[/sub] e r;[br](16-17) São traçados os círculos c[sub]1 [/sub]e c[sub]2[/sub] de centros O[sub]1[/sub] e O[sub]2[/sub] respectivamente.

Queremos determinar os centros de todos os círculos que solucionam este caso. Os mesmos devem estar localizados equidistantes as retas r, s e t, ou seja, sobre uma das bissetrizes. logo os centros devem estar na interseção das bissetrizes, para que assim os mesmo equidistam das três retas, uma vez que esteja em localizado em uma das bissetrizes internas ele equidista das retas r e t ou s e t, e quando nas bissetrizes externas equidista s e t ou de r e t, uma vez que os centros estejam na interseção de uma bissetriz interna com uma bissetriz externa ele equidista das três retas inciais. Com isso, concluímos que tais centros são, na verdade, os pontos O[sub]1[/sub] e O[sub]2[/sub].

Não é possível obter a solução neste caso, visto que ao traçarmos um círculo, ele deverá intersectar pelo menos uma das retas duas vezes, o que já foge do que é proposto no problema inicialmente. Algo muito semelhante ocorre nos casos [url=https://www.geogebra.org/m/yudc4bet]PPR4[/url] e [url=https://www.geogebra.org/m/xjqnxkgh]PRR3[/url]

Não é possível obter a solução neste caso. Para se convencer disso, considere que tenhamos encontrado uma circunferência c que soluciona o problema. Onde deveria estar localizado seu centro? Como os raios de c devem ser sempre perpendiculares às retas tangentes no ponto de tangência, isso significa que o centro c é um ponto que equidista das três retas. Acontece que o único ponto que equidista das três retas é o ponto de interseção entre as três, pois qualquer outro ponto estaria localizado em uma das seis regiões determinadas pelas três retas, estando, portanto, mais próximo das duas retas que delimitam esta região que das demais, ou sobre apenas uma das retas, estando mais próximo desta que das outras duas. Não há como a circunferência c ter seu centro neste ponto de interseção e, ao mesmo tempo, ser tangente a qualquer uma das três retas, já que estas conteriam seu diâmetro. Isto prova que não há solução para este caso.