[math]$E:\ \left(\begin{array}{c}3\\1\\1\end{array}\right)\bullet\left(\vec{r}-\left(\begin{array}{c}-4\\2\\2\end{array}\right)\right)=0$[/math]

Das Vektorprodukt [math]$\vec{u}\times\vec{v}$[/math] der beiden Richtungsvektoren liegt immer parallel zum Normalvektor [math]$\vec{n}$[/math]. [br]Im Normalfall ist das Vektorprodukt nicht gleich Lang und zeigt auch nicht unbedingt in die gleiche Richtung wie der Normalenvektor.[br]Spezialfälle gibt es dann, wenn die beiden Richtungsvektoren [math]$\vec{u}$[/math] und [math]$\vec{v}$[/math] kollinear sind. Dann verschwindet das Vektorprodukt [math]$\vec{u}\times\vec{v}$[/math] (es gibt den Nullvektor).

Das Vektorprodukt ist bereits ein Normalenvektor. Wenn man möchte, kann man dessen Länge und Richtung derart verändern, dass der neue Normalenvektor mit möglichst kleinen ganzen Zahlen geschrieben werden kann, oder man kann auch erreichen, dass der Normalenvektor die Länge 1 hat, ganz wie man möchte.

Hinweise: Bilden Sie das Vektorprodukt aus den beiden Richtungsvektoren und setzen dieses als Normalenvektor in die Normalenform ein. Lösen Sie dann das Skalarprodukt auf.[br][br]Das Ergebnis ist nicht eindeutig. Es können vielfache der Gleichung notiert werden.

Man wählt drei Punkte, [math]$P(x|y|z)$[/math] so, dass diese die Koordinatenform erfüllen. Dazu wählt man zwei Koordinaten und berechnet dann mit Hilfe der Ebenengleichung die dritte Koordinate der Punkte.[br]Hat man so drei verschiedene Punkte gefunden, bildet man zwei Richtungsvektoren zwischen je zwei dieser Punkte. Wichtig ist, dass diese Richtungsvektoren nicht kollinear sein dürfen.[br]Nun lässt sich eine Parametergleichung notieren. Als Stützvektor dient ein Ortsvektor eines gefundenen Punkts. Die Richtungsvektoren hat man wie oben berechnet.[br][br]Da die Punkte beliebig gewählt werden sind weder Richtungsvektoren noch Stützvektoren vorgegeben und damit gibt es keine eindeutige Parameterform.