[b]Se trata de calcular la probabilidad de que elegidos al azar tres puntos sobre una circunferencia el triángulo determinado por los tres puntos contenga el centro de la circunferencia.[br][/b][br]El ejercicio admite aproximaciones diversas.[br][br][b]Enfoque 1:[/b][br]La más intuitiva y asequible a alumnos de últimos cursos de bachillerato consiste en analizar el asunto de forma geométrica.[br]El primer punto elegido, A, sirve como origen de coordenadas circulares. [br]Estas usan como centro el centro de la circunferencia, O, y como origen el punto A. De esta forma cualquier punto P situado sobre la circunferencia queda caracterizado unívocamente por el ángulo [*]Caso 1: B tiene coordenada circular comprendida entre 0 y pi[/*][*]Caso 2: B tiene coordenada circular comprendida entre pi y 2pi[/*][br]Llamemos x a la coordenada circular del punto B. [br]No es difícil darse cuenta de que en el primer caso C tiene restringidas sus posiciones favorables al intervalo [pi, pi +x].[br]En el segundo caso las posiciones favorables para C quedan limitadas al intervalo [x- pi, pi].[br][br]La primera aplicación interactiva muestra la situación descrita. A es fijo y sirve de origen para toda la historia. [br]B se puede colocar en cualquier posición de la circunferencia. [br]Las posiciones favorables de C corresponden al arco de circunferencia verde. [br][br]Eso permite trasladar el problema a la situación geométrica bidimensional que muestra la segunda aplicación interactiva.[br]En ella en el eje de abscisas se coloca la coordenada circular de B y verticalmente las coordenadas correspondientes al punto C, (coordenada circular de B, coordenada circular de C). [br]Así vemos cuál es la región que corresponde a los casos favorables. Se trata de la región verde, limitada básicamente por las rectas x + pi, x - pi e y = pi.[br]El área de la zona favorable es 1/4 del área del rectángulo correspondiente a todos los casos posibles.[br]Por tanto la probabilidad buscada es:[br][math]p=\frac{1}{4}[/math][br][br]Este ejercicio puede usarse para que los alumnos programen con Geogebra una simulación tipo Monte-Carlos para "comprobar" el resultado anterior. Se pude hacer colocando puntos al azar sobre la circunferencia y contando los que determinan triángulos que cumplen la condición requerida.[br]Se podría hacer también usando el dibujo bidimensional, pero, si se han entendido las explicaciones, no tiene mucho sentido porque las áreas se calculan sin problema.[br][br]A continuación se encuentran las dos aplicaciones interactivas mencionadas relacionadas con este enfoque del problema.[br][br]Más abajo, después de las aplicaciones indicadas, se exponen otras formas de abordar el problema.

[b]Enfoque 2: Función de densidad de la distribución uniforme y probabilidades condicionadas[/b][br][br]La función de densidad de una distribución uniforme en [0, [math]\pi[/math]] es f(x) = [math]\frac{1}{2\pi}[/math][br]Usaremos la probabilidad de C condicionada al valor de la coordenada circular x de B.[br]probabilidad buscada = p(C [math]\epsilon[/math] ( [math]\pi[/math], x+ [math]\pi[/math]) | B = x) p(B= x con 0<=x<=[math]\pi[/math]) + p(C [math]\epsilon[/math] ( x-[math]\pi[/math], [math]\pi[/math] ) | B = x) p(B= x con [math]\pi[/math]<=x<=2[math]\pi[/math])[br]p = [math]\int_0^{\pi}\frac{x+\pi-\pi}{2\pi}.\frac{1}{2\pi}dx+\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\pi-\left(x-\pi\right)}{2\pi}.\frac{1}{2\pi}dx=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}[/math]

El primer punto, A, se coloca al azar y a partir de él analizamos la situación.[br]Los otros dos puntos, B y C, deben estar situados, cada uno de ellos, en una de las dos semicircunferencias determinadas por el centro O y por A y por A' (punto simétrico de A respecto de O).[br]La probabilidad de que esto suceda es , es decir, la de que cada punto esté situado en una de las dos distintas semicircunferencias es [math]\frac{1}{2}[/math].[br]Asumido que se cumpla la condición anterior, para que se cumpla la condición del problema, que el centro O sea interior al triángulo ABC, es condición equivalente que se cumpla: <AOB + <AOC >= pi (suma de los dos ángulos >= pi).[br]Si designamos por x el ángulo <AOB y por y el ángulo <AOC, ambos positivos, y representamos ambos en el cuadrado [0, pi]*[0, pi], la zona favorable corresponde a la mitad superior determinada por la diagonal y=pi - x. La probabilidad correspondiente es [math]\frac{1}{2}\ast\frac{1}{2}=\frac{1}{4}[/math][br] La aplicación que se muestra a continuación lleva a cabo una simulación que elige los puntos B y C al azar, mide los ángulos correpondientes y marca los puntos (<AOB, <AOC) y constata si cumplen la condición o no. Se repite el procedimiento hasta que se interrumpe pulsando el botón correspondiente y se calcula la probabilidad empírica que se aproxima rápidamente a [math]\frac{1}{4}[/math][br]x

[b]Otras aproximaciones al problema:[/b][br][br]Hay publicadas en la red multitud de aproximaciones y métodos de solución de este problema.[br]En [url=https://math.stackexchange.com/questions/268635/what-is-the-probability-that-the-center-of-the-circle-is-contained-within-a-tria]https://math.stackexchange.com/questions/268635/what-is-the-probability-that-the-center-of-the-circle-is-contained-within-a-tria[/url] hay enfoques muy interesantes, pero hay muchos más.