[right][color=#980000][i][size=85][color=#980000][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [b]geogebrabooks [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj]Möbius-Werkzeuge circle tools[/url][/b] (November 2018)[/size][/color][/size][/i][/color][/right][b][color=#0000ff][size=85]In dem Applet oben kann man die ebenen Kreise als Ganzes oder über die [/size][/color][/b][math]\diamond[/math][b][color=#0000ff][size=85]-Punkte bewegen.[/size][/color][/b][br][br][size=85]Die [i][b]stereographische Projektion[/b][/i] (oben bzw. auf der nächsten Seite) projiziert [b]Punkte[/b], [b]Geraden[/b] und [b]Kreise[/b] in der Ebene[/size] [math]z=0[/math] [br][size=85]vom Nordpol[/size] [math]\infty=\left(0,0,1\right)[/math] [size=85]aus auf die Einheitskugel. [br]Dabei werden Kreise und Geraden in der Ebene auf Kreise auf der Kugel, [br]das sind die [i][b]Schnitte der Kugel mit Ebenen[/b][/i], abgebildet. Aus Geraden werden Kreise durch[/size] [math]\infty[/math].[br][size=85]Die stereographische Projektion ist kreis- und winkeltreu.[br]Zwei Kreise in der Ebene erzeugen ein [i][b]lineares Kreisbüschel[/b][/i]: auf der Kugel schneiden sich die beiden zugehörigen [br]Kreisebenen in einer Geraden: die Ebenen durch diese Gerade schneiden die Kugel in den Kreisen des Kreisbüschels. [br]Je nach der [i][b]Lage der Büschelgeraden[/b][/i] erhält man ein [/size][br][list][*][size=85][color=#0000ff][i][b]elliptisches Kreisbüschel[/b][/i][/color]: die Kreise gehen durch 2 Punkte, [br]die Büschelgerade schneidet die Kugel in den 2 Büschelpunkten.[/size][/*][*][size=85][color=#ff0000][i][b]hyperbolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color]: die Kreise schneiden sich nicht und sie sind orthogonal [br]zu den Kreisen eines [color=#0000ff][i]elliptischen Kreisbüchels[/i][/color]. [br]Die Büschelgerade liegt außerhalb der Kugel. [br]Zwei der Ebenen durch diese Gerade berühren die Kugel in den Büschelpunkten des [br]zugehörigen [color=#0000ff][i]elliptischen Kreisbüschels[/i][/color].[/size][/*][*][color=#00ff00][i][b][/b][/i][/color][size=85][color=#00ff00][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color]: die Kreise berühren sich. Die Büschelgerade berührt die Kugel. [br]Die dazu orthogonale Berührgerade erzeugt das orthogonale parabolische Kreisbüschel.[/size][/*][/list][size=85]Die [i][b]Pole der Kreise[/b][/i] eines linearen Kreisbüschel bezüglich der Kugel - also die Pole der Schnittebenen - [br]liegen auf der zur Büschelgeraden [i][b]polaren Geraden[/b][/i]. [br]Diese Gerade erzeugt als Büschelgerade das [i][b]orthogonale Kreisbüschel[/b][/i].[br]Bei [color=#00ff00][i][b]parabolischen Kreisbüscheln[/b][/i][/color] berühren die beiden polaren Geraden[br]die Kugel im Schnittpunkt der Geraden, für die anderen Kreisbüschel-Typen sind die poaren Geraden [br]windschief, eine schneidet die Kugel, die andere liegt außerhalb der Kugel.[br]In jedem Falle sind die [i][b]Richtungsvektoren[/b][/i] polarer Geraden [i][b]orthogonal[/b][/i].[br][br]Ein Kreis[/size] [math]k_1[/math] [size=85]ist orthogonal zu einem Kreis[/size] [math]k_2[/math][size=85], wenn der Pol des einen Kreises [br]auf der Schnittebene des anderen Kreises liegt.[br][br]Zu [i][b]drei[/b][/i] nicht in einem linearen Kreisbüschel liegenden Kreisen gibt es genau einen zu allen dreien [i][b]orthogonalen Kreis[/b][/i]. [br]Dieser kann [i][b]imaginär[/b][/i] sein: der Pol der Kreisebene liegt im Inneren der Kugel, [br]die Kreisebene schneidet die Kugel nicht![br][br][i][b]Kreis-Spiegelungen[/b][/i] ([i][b]Inversionen[/b][/i]) in der Ebene entsprechen auf der Kugel den Spiegelungen [br]an den Kreis-Ebenen, welche die Kugel invariant lassen. [/size][br][br][br]