[size=200][color=#9900ff]Actividad propuesta[/color][/size]

[justify]Una niña está practicando para una competencia de gimnasia artística. Ella tiene que lograr hacer una postura como la que se muestra en la foto 1, donde la extensión de la pierna y el brazo deben formar una línea recta y la inclinación del cuerpo debe ser de 36,9° respecto del piso.[/justify]

[justify]Siendo su cuerpo el eje de ordenadas y F y G dos puntos tales que F= ( 12; 24) es el punto correspondiente a la mano y G= ( -12; 6) es el punto correspondiente al pie pertenecientes a la recta Q de la foto 1 se pide: [br][br]a) Hallar la ecuación de dicha recta y corroborar el ángulo de inclinación del cuerpo para saber si la niña logró la postura.[br][br]b) Además de la primera postura, la niña debe lograr una segunda postura para ganar esta competencia correspondiente a la foto 2. Determinar dos puntos pertenecientes a la foto 2, de modo tal que quede representada una recta R (similar a la foto 1, sobre el cuerpo de la niña) que sea perpendicular a la recta Q . Hallar la ecuación explícita de R.[br]Nota: el eje que representa al cuerpo de la niña está sobre x=30[br][br]c) Hallar y marcar el punto de intersección de dichas rectas y comprobar, con geogebra, la perpendicularidad midiendo los ángulos formados por las mismas.[/justify]

[size=200][color=#9900ff]Resolución[/color][/size]

[justify]a) Al saber que el cuerpo forma una línea recta, la función que le corresponde es “la función lineal”.[br][br]En geogebra: como ya tenemos los dos puntos, con la función "recta" creamos nuestra función.[br]Como se puede ver en la siguiente foto, la fórmula de nuestra función es: y=0.75x+15[/justify]

Sabemos que la fórmula explícita de la función lineal es: [b]y = m . x + b[br][/b][br]Partiendo de la fórmula de pendiente: [math]m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math][br]Obtenemos que: [math]m=\frac{24-6}{12+12}[/math]=3/4[br][br]Por lo tanto, ya conocemos la pendiente de la recta Q, que al ser mayor a cero, sabemos se trata de una [b]función lineal creciente[/b].[br]Tomando el valor de la pendiente hallada y uno de los puntos dados en el enunciado, hallamos la ordenada al origen de la recta Q: [br][center]24=3/4 . 12 +b[br]Operando, resulta que b = 15.[br]La ecuación explícita de la recta Q:  [b]y = 3/4x + 15[/b][/center]Para corroborar el ángulo partimos de que m es la pendiente de la recta que es la tangente del ángulo: [br][math]m=tg\left(\alpha\right)[/math][br][br]Como m =¾, nos queda ¾ = tg [math]\alpha[/math][br]arc tg ¾ =[math]\alpha[/math][br][math]\alpha\cong[/math] 36,9°[br][br][b]Entonces, la niña logró la postura![br][/b][br]

b)[br]Si la recta R debe ser perpendicular a la recta Q, su pendiente será opuesta e inversa a la pendiente de Q.[br]Por lo tanto la pendiente de la recta R es m = -4/3[br]Los puntos que pertenecen al cuerpo de la niña  en la foto 2 pueden ser:  J= (39;3) y H= (30;15)[br]Entonces: [br][center]y=-4/3 x + b[br]15=-4/3 . 30 + b[br]15= -40 + b[br]15 + 40= b[br]55=b[/center][br]Ecuación explícita de R: [br][b]y= -4/3x+55[/b][br][br]

Teniendo los puntos marcados, con la herramienta "perpendicular" seleccionamos la recta Q y uno de los dos puntos

c) Punto de intersección[br][br]Para hallarlo, igualamos ambos rectas ya que en ese punto las rectas deben coincidir en un punto.[br][math]\frac{3}{4}x+15=-\frac{4}{3}x+55[/math][br][math]\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=55-15[/math][br][math]\frac{25}{12}x=40[/math][br][math]x=19.2[/math][br][br]Ya obtuvimos el valor de x, ahora reemplazamos ese valor en una de las dos funciones para obtener y.[br][math]y=\frac{3}{4}x+15[/math][br][math]y=\frac{3}{4}\cdot19.2+15[/math][br][math]y=29.4[/math]

[justify]Como se puede observar en la imagen, el punto de intersección es I= (19,2 ; 29,4).[br]Y, al pedirle al programa que mida el ángulo entre las dos rectas se comprueba la perpendicularidad entre ambas ya que entre ellas quedan comprendidos cuatro ángulos de 90°. [/justify]

[color=#9900ff][size=200]Resolución en Geogebra[/size][/color]