Decimos que la curva trazada por la función vectorial [math]r(t)=\left\langle f(t),g(t),h(t)\right\rangle[/math] en un intervalo[b] I [/b]es suave si [math]r[/math] es continua en [b]I[/b] y [math]r(t)=0[/math], excepto posiblemente en cualquier extremo de [b]I[/b]. Note que esto dice que la curva es suave siempre que f, g y h son todos continuo en [b]I[/b] y [math]f(t)[/math], [math]g(t)[/math] y [math]h(t)[/math] no son todos cero en el mismo punto en [b]I[/b].

[size=200][size=150][b]21.-[/b][/size][math]r\left(t\right)=\left\langle t^4-2t^2,t^2-2t\right\rangle[/math][br][/size][br]Derivamos a [math]r\left(t\right)[/math]:[br][br][math]r'\left(t\right)=\left\langle4t^3-4t,2t-2\right\rangle[/math][br][br]Por lo tanto, [math]r\left(t\right)[/math] será suave cuando [b]t[/b] sea diferente de 1 y 0.

[size=150][b]23.-[/b][math]r\left(t\right)=\left\langle sen\left(t\right),cos\left(2t\right)\right\rangle[/math][br][br][/size]Derivamos a [math]r\left(t\right)[/math]:[br][br][math]r'\left(t\right)=\left\langle cos\left(t\right),-2sin\left(2t\right)\right\rangle[/math][br][br]Por lo tanto, [math]r\left(t\right)[/math] es suave en todos los [math]\mathbb{R}[/math]

[b]25.-[/b][math]r\left(t\right)=\left\langle e^{\sqrt{t}},t^3-t\right\rangle[/math][br][br]Derivamos a [math]r\left(t\right)[/math]:[br][br][math]r'\left(t\right)=\left\langle\frac{e\sqrt{^t}}{2\sqrt{t}},3t^2-1\right\rangle[/math][br][br]Por lo tanto, [math]r\left(t\right)[/math] no es una curva, porque [math]f\left(t\right)[/math] el vector se anula en [math]t=\frac{1}{3}[/math] y no está definida en los valores negativos. Además, [math]r\left(t\right)[/math] no es continua.