Pour n premier, les éléments non nuls forment un groupe multiplicatif [math]\mathbb Z/n\mathbb Z^*[/math] qui compte [math]\varphi(n)=n-1[/math] éléments. Aussi, chaque élément non nul a un ordre multiplicatif [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lagrange_sur_les_groupes]qui divise n-1, l'ordre du groupe[/url], c'est [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat]le petit théorème de Fermat:[/url] [math]\forall a\in\mathbb Z/n\mathbb Z^*, a^{n-1}\equiv 1[n][/math] qu'on peut reformuler sur les entiers, même multiples de n: [math]\forall a\in\mathbb Z, a^n\equiv a[n][/math].[br][br]Quand n est composé, c'est plus complexe, comme on l'a vu, chaque élément, en tant que racine n-ème de l'unité, a un ordre d donné, et est une racine primitive d-ème pour [math]d|n[/math] qu'on supposera non trivial. Cet élément est inversible dans [math]\mathbb Z/d\mathbb Z[/math], mais pas dans [math]\mathbb Z/n\mathbb Z[/math]! Et ses puissances non plus. Elles resteront bien-sûr dans le sous-ensemble [math]a\mathbb Z/n\mathbb Z\approx \mathbb Z/d\mathbb Z[/math] mais c'est à peu près tout ce qu'on peut dire... Aussi il n'y a aucune raison que les puissances [math]\{a^k/k\in\mathbb N^*\} [/math] forment un groupe. Elles formeront ultimement un cycle (qui peut être la constante [math]b\in a\mathbb Z/n\mathbb Z[/math] diviseur de zéro de [math]a-1[/math] et qui vérifie donc [math]a\times b=a[/math]) de longueur divisant [math]\varphi(d)[/math].