Geometria Analítica
Ao longo de anos trabalhando como professor de Geometria Analítica acumulei algumas construções e atividades que, por vezes, utilizo com meus alunos. Neste livro, resolvi compartilhar algumas dessas construções organizadas por tópicos sem qualquer pretensão de cobrir todos os tópicos. Este material não é um livro didático que percorre o assunto de forma sequencial, mas apenas uma coleção de atividades relacionadas com o assunto para que o colega professor encontre o que deseja com mais facilidade.
Tabla de Contenidos
- Atividades Introdutórias
- Equação de uma curva no plano
- Divisão de um segmento em partes iguais
- Reta ou plano?
- Coordenadas
- Coordenadas Polares
- Sistema de Coordenadas Cilíndricas
- Coordenadas Esféricas
- Vetores
- Multiplicação por escalar
- Adição de vetores
- Reta
- Reta definida por dois pontos
- Coeficiente Angular
- Equação reduzida da reta no plano
- Equação segmentária da reta
- Equações vetorial e paramétricas da reta no espaço
- Equações reduzidas da reta no espaço
- Cônicas
- Cortes no Cone
- Criando as cônicas
- Construção da Parábola
- Elipse e hipérbole
- Equação Canônica da Parábola
- Equação cartesiana da elipse
- Equação Cartesiana da Hipérbole
- Equação Geral das Cônicas
- Quádricas
- Quádricas
- Equação Geral das Quádricas
- Quádricas degeneradas
- Hiperboloide de Uma Folha
- Paraboloide Hiperbólico
Equação de uma curva no plano
INTRODUÇÃO
[justify][size=150]Qual o significado de atribuir uma equação a uma curva?[br]A equação de uma curva no plano estabelece uma relação entre as coordenadas x (abscissa) e y (ordenada) dos pontos do plano. Assim, nos fornece um caminho algébrico para determinar quando um ponto P do plano pertence ou não a curva cuja equação foi fornecida.[br]Observe que o ponto P pertencerá a curva sempre que suas coordenadas tornarem a equação da curva verdadeira e não pertencerá a curva no caso contrário.[/size][/justify]
QUESTÃO
[size=150][justify]Na construção acima, posicione o ponto P em diferentes regiões do plano, ora sobre o gráfico e ora fora dele. Em cada uma dessas situações, substitua o valor da abscissa x do ponto P na equação y=x³-2x²+1 da curva e observe em que situações o valor da ordenada y de P é obtido, mesmo que apenas como uma aproximação. [/justify][/size]
Coordenadas Polares
COMO USAR ESTA CONSTRUÇÃO
[size=150][justify]Movimente o ponto preto P a partir dos controles deslizantes r e θ. O controle r modifica o comprimento do segmento verde, isto é, está associado à distância entre P e a origem, representada pelo ponto azul. O controle deslizante θ faz com que o ponto P gire em torno da origem. Quando r é positivo, o ângulo indicado por θ é o ângulo entre o semi-eixo positivo e o segmento verde, sendo positivo quando o giro é feito no sentido anti-horário e negativo quando é feito no sentido horário. O ponto vermelho é livre, podendo ser posicionado em qualquer local do plano. Você pode ainda optar por exibir ou não o setor correspondente ao ângulo do giro, marcando ou não a opção "Exibir setor".[/justify][/size]
CONSTRUÇÃO 1
QUESTÃO 1
[size=150][justify]Na Construção 1, use a ferramenta ponto para criar pontos nas posições indicadas abaixo. A seguir, modifique os valores dos controles deslizantes r e θ para verificar se você, de fato, criou os pontos nas posições corretas.[br](A) (-2; 30°)[br](B) (8; 0°)[br](C) (-4; -120°)[br](D) (-3; 180°)[br](E) (-1,5; -15°)[br](F) (4,5; 270°)[/justify][/size]
CONSTRUÇÃO 2
QUESTÃO 2
[size=150][justify]Forneça as coordenadas polares dos pontos vermelhos que aparecem na Construção 2 de modo que a segunda coordenada tenha o menor módulo possível. Confira suas respostas usando os controles deslizantes r e θ.[/justify][/size]
QUESTÃO 3
[size=150]Encontre novamente as coordenadas polares dos pontos B, D, E, G e H da Construção 2 de modo que ambas as coordenadas sejam positivas. Confira suas respostas usando os controles deslizantes r e θ.[/size]
Multiplicação por escalar
INTRODUÇÃO
[size=150][justify]O objetivo desta atividade é ampliar a compreensão sobre a operação de [b][i]multiplicação de um vetor por um escalar[/i][/b].[br]Usaremos aqui o termo [i]escalar[/i] como sinônimo de número real. Os escalares serão representados por letras gregas como α e β. Já os [i]vetores[/i] são entes matemáticos providos de [i]módulo[/i], [i]direção [/i]e [i]sentido [/i]e serão representados aqui por letras minúsculas do alfabeto latino como [b]u[/b], [b]v[/b] e [b]w.[/b] Quando no corpo do texto, o nome dos vetores aparecerá em negrito.[br][/justify][/size]
COORDENADAS DE UM VETOR
[size=150][justify]Um vetor é representado geometricamente por meio de uma seta, mas, algebricamente, um vetor é representado por meio de suas coordenadas, que são um par ordenado de números reais, caso seja um vetor do plano, ou uma terna ordenada, caso seja um vetor do espaço.[/justify][/size]
Construção 1
Questão 1
[size=150][justify]Na Construção 1, movimente os pontos pretos para modificar as coordenadas do vetor vermelho [b]v[/b]. Qual a relação entre as coordenadas de [b]v[/b] e o comprimento de suas projeções ortogonais sobre os eixos x e y, representadas pelos vetores azul e verde, respectivamente?[/justify][/size]
Construção 2
Questão 2
[size=100][size=150][justify]Na Construção 2, clique sobre o vetor [b]v[/b] e arraste-o pra diferentes posições. A seguir, clique sobre um dos pontos A ou B e movimente-os também.[br](a) Quando você arrastou o vetor [b]v[/b] (sem clicar nos pontos), as coordenadas dele foram alteradas? Por que você acha que isso aconteceu?[br](b) Quando você moveu os pontos A e B, as coordenadas do vetor [b]v[/b] foram alteradas? Por que você acha que isso aconteceu?[br](c) Como as coordenadas do vetor [b]v[/b] podem ser obtidas a partir das coordenadas de sua origem A e de sua extremidade B?[br](d) Em que situação as coordenadas do vetor [b]v[/b] coincidem com as coordenadas de sua extremidade B?[/justify][/size][/size]
MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR
[size=150][justify]Na Construção 3 você pode modificar a aparência (módulo, direção e sentido) do vetor [b]u[/b] manipulando-o a partir de sua extremidade. Contudo, o vetor [b]v[/b] está definido de modo que [b]v[/b] = α[b]u[/b]. Assim, embora possa ser movido para qualquer posição do plano, sua aparência depende do vetor [b]u[/b] e do valor do escalar α.[br]Nessa construção você pode observar também os valores das coordenadas dos vetores [b]u[/b] e [b]v[/b], bem como os módulos, isto é, o comprimento destes vetores, representados por |[b]u[/b]| e |[b]v[/b]|.[/justify][/size]
Construção 3
Questão 3
[size=150][justify]Na Construção 3, manipule o controle deslizante para alterar o valor de α e responder as perguntas abaixo:[br](a) A direção do vetor [b]v[/b] é sempre a mesma do vetor [b]u[/b] quando você altera o valor de α? E se você alterar o vetor [b]u[/b] manipulando sua extremidade ou sua origem?[br](b) O sentido dos vetores [b]u[/b] e [b]v[/b] é sempre o mesmo? Se não, em que situações esse sentido é invertido?[br](c) O que acontece quando α = 0?[br](d) O que acontece quando α = 1?[br](e) O que acontece quando α = -1?[br](f) Para que valores de α o vetor [b]v[/b] é menor que o vetor [b]u[/b]?[/justify][/size]
Questão 4
[size=150][justify]Ainda com base na Construção 3, responda as perguntas abaixo.[br](a) Como é possível obter o valor do módulo do vetor [b]v[/b] a partir do valor de α e do módulo do vetor [b]u[/b]?[br](b) Como é possível obter as coordenadas do vetor [b]v[/b] =([i]a[/i], [i]b[/i]) a partir do valor de α e das coordenadas do vetor [b]u[/b] = ([i]c[/i], [i]d[/i])?[/justify][/size]
Reta definida por dois pontos
[size=150][justify]Uma reta (e consequentemente sua equação), esteja ela sendo considerada no plano ou no espaço, pode ser determinada por dois pontos.[br][br]Observe que um único ponto não é suficiente para determinar uma reta, mas dois pontos sim. Mesmo sem desenhar a reta que passa pelos pontos A e B você pode imaginá-la. Agora crie a reta AB selecionando a ferramenta Reta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon] e clicando nos pontos A e B. Na janela de álgebra, acima das coordenadas dos pontos A e B, à esquerda, será exibida a equação da reta AB.[/justify][/size]
QUESTÃO 1
[size=150][justify]Compare a equação da reta AB com a equação da reta obtida por seus colegas. Elas são iguais?[/justify][/size]
QUESTÃO 2
[size=150][justify]Ainda na CONSTRUÇÃO 1, Utilizando novamente a ferramenta Reta [icon]/images/ggb/toolbar/mode_join.png[/icon], clique sobre o ponto A e depois sobre um ponto qualquer da janela de visualização diferente dos pontos A e B. Isso produzirá uma nova reta passando pelo ponto A.[br][br]A equação dessa nova reta é igual a equação das retas obtidas por seus colegas?[/justify][/size]
[size=150][justify]Na CONSTRUÇÃO 1, é possível movimentar o novo ponto obtido por você (que deve ter recebido o rótulo de C) utilizando a ferramenta Mover [icon]/images/ggb/toolbar/mode_move.png[/icon]. Você perceberá que a equação da reta que passa por ele é alterada, uma vez que pontos diferentes podem determinar retas diferentes.[/justify][/size]
QUESTÃO 3
[size=150][justify]É possível um colega escolher um ponto C diferente do seu e obter a mesma reta AC, ou seja, uma reta com a mesma equação?[/justify][/size]
QUESTÃO 4
[size=150][justify]Levando o ponto C para a posição (-1, 3) fazemos com que a reta AC coincida com a reta AB, mas você notará que as equações dessas retas na anela de álgebra não coincide. O que explica isso?[/justify][/size]
Cortes no Cone
Utilize os controles deslizantes para modificar a posição e a inclinação do plano de corte.
Quádricas
Superfícies quádricas: forma canônica
Nesta construção o professor tem a possibilidade de explorar com os alunos as equações canônicas das superfícies quádricas.
Como usar esta construção
Selecione a superfície quádrica desejada clicando nos botões.[br]Os controles deslizantes a, b e c permitem que você manipule os coeficientes das equações das superfícies quádricas, que estão na forma canônica.[br]Clicando nas opções yOz, xOz ou xOy você exibe planos paralelos aos planos coordenados, deslocando-os a partir da manipulação do controle deslizante correspondente (x, y ou z). É possível também exibir as curvas correspondentes à interseção da quádrica com estes planos clicando nos botões de corte e exibir o rastro deixado por essas curvas quando o controle deslizante correspondente é movimentado com a opção de rastro selecionada.
Questão 1
Clique no botão elipsoide para que esta superfície quádrica seja exibida na janela de visualização 3D.[br]Experimente manipular os controles deslizantes [b]a[/b], [b]b[/b] e [b]c [/b]de modo que eles assumam valores diferentes.[br]a) O que acontece com o elipsoide quando o controle deslizante [b]a[/b] é manipulado? E quando os outros dois são manipulados?[br]b) O que acontece com o elipsoide quando [math]\text{a = b = c}\ne0[/math]?[br]c) Há alguma relação entre os valores dos controles deslizantes [b]a[/b], [b]b[/b] e [b]c[/b] e os eixos do elipsoide? Se sim, qual?
Questão 2
Com o elipsoide selecionado, faça a=5, b=4 e c=3.[br]a) Exiba o plano paralelo a yOz e o resultado do corte do elipsoide por este plano quando |x|<|a|. Que figura é gerada? Faça o mesmo em relação aos outros planos quando |y|<|b| e quando |z|<|c|. Você acha que os resultados justificam o nome desta quádrica?[br]b) Qual o resultado da interseção da quádrica com os planos x=a, y=b e z=c? Substituindo esses valores na equação, o resultado que você obteve faz sentido?[br]c) E quando |z|>|c|, o que ocorre? Esse resultado faz sentido quando você analisa o problema algebricamente?
Questão 3
Nesta questão abordaremos os hiperboloides, os quais são de dois tipos, os de uma folha e os de duas folhas. Clique no botão hiperboloide e selecione a opção 1 folha e depois uma das três opções que serão exibidas. Repita esse procedimento, só que para a opção 2 folhas.[br]a) Observando as superfícies geradas na janela 3D, explique porque os hiperboloides são classificados como de uma ou de duas folhas.[br]b) Você observa alguma relação entre os dois tipos de hiperboloides e os sinais dos termos que aparecem em suas equações? Que relações são essas?[br]c) O hiperboloide de uma folha, em sua forma canônica, não possui interseção com um dos eixos coordenados. É possível determinar qual é esse eixo a partir de sua equação? Como? No caso do hiperboloide de duas folhas temos um eixo que o intersecta em seus vértices. Como determinar qual é esse eixo apenas olhando para a equação associada a ele?
Questão 4
Os paraboloides são classificados em duas categorias: elípticos e hiperbólicos. Manipule a construção e explique:[br]a) Por que tais superfícies são denominadas paraboloides?[br]b) Por que os paraboloide são classificados como elípticos e hiperbólicos?[br]c) Como é possível distinguir um paraboloide elíptico de um hiperbólico através de sua equação?
Questão 5
As equações canônicas das quádricas que exploramos nas questões 1, 2 e 3 possuíam apenas termos quadráticos puros. No caso dos paraboloides, uma das variáveis aparece em um termo linear (ou seja, tem expoente 1).[br]a) O que a variável do termo linear nos indica no caso dos paraboloides elípticos?[br]b) O que o sinal do termo linear nos indica?
Questão 6
Exiba na janela de visualização 3D o paraboloide hiperbólico selecionando a opção [b]eixo z[/b]. Com os valores dos controles deslizantes x e y em zero, exiba os planos xOz e yOz.[br]a) O paraboloide exibido apresenta simetria em relação a esses dois planos?[br]b) Qual a interseção entre eles? Essa interseção apresenta alguma relação com o termo linear da equação canônica dessa quádrica?[br]c) Esse paraboloide hiperbólico possui simetria em relação o plano xOy?[br]Explore também esses mesmos aspectos no caso dos outros dois paraboloides hiperbólicos.
Questão 7
Manipulando a construção é possível perceber que os cortes feitos em um hiperboloide geram sempre hipérboles ou elipses (desconsiderando casos específicos, nos quais podem ser obtidas cônicas degeneradas). Por que então, essas superfícies não são denominadas hiperboloides elípticos?
Questão 8
Siga os seguintes passos:[br]1. Reinicie a construção;[br]2. Desmarque a opção exibir quádrica;[br]3. Clique nos botões: hiperboloide >> 2 folhas >> eixo x (nada será exibido, mas faça isso);[br]4. Mantenha a=1 e faça b=2 e c=0.5;[br]5. Mova o controle deslizante x para -5;[br]6. Selecione as opções [b]corte x [/b]e [b]rastro x[/b];[br]7. Arraste lentamente o controle deslizante x de -5 para 5;[br]8. Movimente a janela de visualização 3D para observar a imagem formada sob diferentes ângulos.[br][br]Você deve ter observado o surgimento de um hiperboloide de duas folhas a partir de uma família de elipses. Explique porque as elipses começam diminuindo de tamanho no intervalo em que x varia de -5 a -1, viram um ponto quando x=-1, desaparecem no intervalo entre -1 e 1, surgem como um ponto quando x=1 e então começam a aumentar de tamanho no intervalo entre 1 e 5.
Questão 9
Siga os seguintes passos:[br]1. Reinicie a construção;[br]2. Desmarque a opção exibir quádrica;[br]3. Clique nos botões: paraboloide >> hiperbólico >> eixo z (nada será exibido, mas faça isso);[br]4. Mantenha a=1 e faça b=1.5 e c=5;[br]5. Mova o controle deslizante z para -5;[br]6. Selecione as opções [b]corte z [/b]e [b]rastro z[/b];[br]7. Arraste lentamente o controle deslizante z de -5 para 5;[br]8. Movimente a janela de visualização 3D para observar a imagem formada sob diferentes ângulos.[br][br]Você deve ter observado o surgimento de um paraboloide hiperbólico a partir de uma família de hipérboles. Explique porque quando z é negativo as hipérboles têm segmento focal paralelo ao eixo y (eixo verde), quando z é positivo este é paralelo ao eixo x (eixo vermelho) e quando z=0 as hipérboles degeneram em duas retas concorrentes.
Questão 10
Siga os seguintes passos:[br]1. Reinicie a construção;[br]2. Desmarque a opção exibir quádrica;[br]3. Clique nos botões: paraboloide >> hiperbólico >> eixo z (nada será exibido, mas faça isso);[br]4. Mantenha a=1 e faça b=1.5 e c=5;[br]5. Mova os controles deslizantes x e y para -5;[br]6. Selecione as opções [b]corte x[/b], [b]rastro x[/b], [b]corte y [/b]e[b] rastro y[/b];[br]7. Arraste lentamente o controle deslizante x de -5 para 5;[br]8. Arraste lentamente o controle deslizante y de -5 para 5;[br]10. Movimente a janela de visualização 3D para observar a imagem formada sob diferentes ângulos.[br][br]Você deve ter observado o surgimento de um paraboloide hiperbólico a partir de duas famílias de parábolas. Explique porque as parábolas geradas pela movimentação do controle deslizante x têm a concavidade voltada para baixo enquanto as parábolas geradas pela movimentação do controle deslizante y têm a concavidade voltada para cima.
Questão 11
As superfícies quádricas podem ser classificadas como cêntricas ou não cêntricas, conforme sejam ou não simétricas em relação a um ponto (que no caso da construção utilizada aqui é a origem). Uma superfície [math]S[/math] é simétrica em relação a origem se [math]\left(x,y,z\right)\in S[/math] implicar em [math]\left(-x,-y,-z\right)\in S[/math]. Analise os gráficos e as equações das quádricas e indique quais das quádricas abaixo são cêntricas.