Definimos a una recta [math]r[/math]como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto [img width=16,height=14]https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e09a81106339c349b4e9d8d9736b874_l3.png[/img] y con una dirección dada [img width=13,height=15]https://www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7370199910a9ab29fe5a6cab5c9e7978_l3.png[/img].[br]

Para determinar la expresión algebraica de la recta que pasa por un punto es necesario conocer la tanto la [b]pendiente[/b] (m) como las coordenadas del punto (x,y). [br][br][math]\Longrightarrow[/math] Recordamos la ubicación del punto dentro del plano cartesiano se hace mediante el uso de coordenadas.

(x,y) es la manera en la que se debe escribir la ubicación del punto, por ejemplo el siguiente punto se encuentra ubicado en la coordenada (2,3) [br][br]La [b]ecuación de la recta que pasa por un punto[/b] es la manera más sencilla de todos los casos de las expresiones algebraicas relacionadas con la recta.[br][br]La [b]ecuación [/b]se escribe de la siguiente manera: [br][math]y=mx+b[/math][br][br][u][color=#ff0000]EJEMPLO[/color][/u][br]Para determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,5) y tiene una pendiente igual a 3 ¿como determino la ecuación de la recta? [br][br]Se aplica la ecuación general para las ecuaciones de la recta que pasan por un punto: [br][math]y=mx+b[/math][br]Conociendo la ecuación de la recta se reemplazan valores.[br]x=1 ; y=5 ; pendiente (m)=3[br][br] 5= 3.(1)+b[br]5-3=b[br] [b]2=b[br][/b][br]En conclusión la[b] ecuación de la recta que pasa por el punto [/b](1,5) y tiene una pendiente igual a 3 es: [br][br][math]y=3x+2[/math]

Para determinar la [b]ecuación de la recta que pasa por dos puntos[/b] es necesario conocer las coordenadas.

La ecuación de la recta será: [br][math]y=mx+b[/math][br][br]La fórmula para hallar la [b]ecuación de la recta a partir de dos puntos[/b] cualesquiera P(x[sub]1[/sub],y[sub]1[/sub]) y Q(x[sub]2[/sub],y[sub]2[/sub]) es: [br][br] [math]y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)[/math][br]La fórmula de esta ecuación se deduce de la [b]ecuación punto-pendiente[/b] de la recta: [br][br] [math]y-y_1=m\left(x-x_1\right)[/math][br]Como la[b] pendiente de una recta[/b] se puede calcular mediante la siguiente expresión [br][br] [img]data:image/png;base64,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[/img][br]De esta manera, llegamos a la formula de la ecuación de una recta dadas las coordenadas de dos puntos pertenecientes a la recta.  [br]

[math]-\frac{2}{3}x+y+\frac{1}{3}=0[/math]Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(2,1) Y Q(8,5)[br][br][b][u]Solución:[/u][/b] [br][img]data:image/png;base64,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[/img] [br]por lo tanto [math]x_{1=}2[/math] ; [math]y_{1=}1[/math] ; [math]x_{2=}8[/math] ; [math]y_{2=}5[/math][br][br]A continuación sustituimos cada variable por su valor: [br][br][math]m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math] [math]\longrightarrow[/math] [math]m=\frac{5-1}{8-2}[/math][br] [math]m=\frac{4}{6}\longrightarrow[/math] [math]\cong m=\frac{2}{3}[/math][br][br] [br] [math]\Longrightarrow[/math] [math]y-y_1=m\left(x-x_1\right)[/math][br] [math]y-1=\frac{2}{3}\left(x-2\right)[/math][br] [math]y-1=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}[/math] [math]\longrightarrow[/math]expresada la[b] ecuación en su forma general[/b] [math]-\frac{2}{3}x+y+\frac{1}{3}=0[/math][br] [math]y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}[/math] [math]\longrightarrow[/math]expresada la [b]ecuación en su forma explicita[/b] [br][br]

[b]Ejercicio Nº1[/b][br]

[b]EJERCICIO Nº2[br][/b]Determinar la recta que pasa por un punto y tiene como pendiente 4[br][list][*]A=(3.4)[/*][*]B(-3,7)[/*][*]C(-1,2)[/*][/list]

La ecuación [math]y=mx+b[/math] que hemos visto se denomina "ecuación de la recta en forma explícita" y nos permite hallar dicha ecuación cuando conocemos la pendiente y la ordenada al origen.[br][br] [b] y=[color=#ff0000]m[/color]x+[color=#0000ff]b [/color][/b],[math]\longrightarrow[/math] [b]m=[/b]pendiente[br] [b] y=[/b] intersección del eje y[br][br]Encontremos ahora la ecuación de una recta que pasa por un punto determinado y tiene pendiente [i]m.[/i][br]Cuando sólo conocemos la pendiente [i]m [/i]y las coordenadas de uno de los puntos de la recta [math]\left(x_1,y_1\right)[/math] , su ecuación es:[br] [math]y-y_1=m\left(x-x_1\right)[/math][br]Esta ecuación recibe el nombre de forma punto -pendiente de la ecuación de la recta. [br][br][b][u]RESOLVEMOS EL SIGUIENTE EJERCICIO A MODO DE EJEMPLO[br][/u][/b][br]Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(7,2) y tiene pendiente m=4[br][br]solucion: [br][br]Sabemos que P(7,2) y m=4 entonces [math]x_1=7[/math] y [math]y_1=2[/math][br][br]Ahora sustituimos cada variable por su valor:[br][br][math]y-y_1=m\left(x-x_1\right)[/math][br][math]y-2=4\left(x-7\right)[/math] aplicamos distributiva en el segundo miembro de la desigualdad [br][math]y-2=4x-28[/math] [br][math]-4x+y+26=0[/math] esta es la[b] ecuación en su forma general [/b][br][br]si despejamos "y" tenemos: [br] [br] [math]y=4x-26[/math] [b] Ecuación en forma explicita[/b] [br][br]

[b]EJERCICIO Nº3[br][/b]Hallar la pendiente de la recta que pase por dos puntos determinados.[br][br]  1. A(1,8) y B(0,2)[br]  2. M(4,5) y N(-1,-3)[br][br]Graficar la pendiente utilizando GeoGebra. [br][br]

[b]EJERCICIO Nº4[/b][br]Encuentre la ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas[br][list=1][*]Pasa por (2,3) y tiene pendiente 5[/*][*]Pasa por (-2,4) y tiene pendiente -1[/*][*]Pasa por (1,7) y (3,5)[/*][/list]