[b]Problemstellung[/b][br]In einen kugelförmigen Behälter wird Wasser mit einer konstanten Zuflussmenge c pro Zeiteinheit eingefüllt. Die Kugel hat den Radius R.[br]Berechne, wie sich die Füllhöhe h im Lauf der Zeit t ändert.[br][br][i]Lösung[/i][br]Das eingefüllte Wasser hat die Form einer Kugelkappe (Kugelsegment, Kugelkalotte) mit Radius R und Höhe h.[br]Ihr Volumen kann folgendermaßen berechnet werden:[br][math]V = \frac{h^2 \pi}{3}·(3R - h) = h^2 \pi R - \frac{h^3 \pi}{3}[/math][br][br]Die Änderungsrate des Volumens ist konstant und entspricht der Zuflussmenge c pro Zeiteinheit:[br][math]\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh}·\frac{dh}{dt} = \left( 2h \pi R - \frac{3h^2 \pi}{3} \right)·\frac{dh}{dt} = c [/math][br][br]Für die Höhe h in Abhängigkeit von der Zeit t ergibt sich also folgende Differentialgleichung:[br][math] \left( 2h \pi R - \frac{3h^2 \pi}{3} \right)·\frac{dh}{dt} = c[/math][br][br]Diese Differentialgleichung kann durch Trennung der Variablen gelöst werden.[br][math]\begin{align} \int{ \left( 2h \pi R - \frac{3h^2 \pi}{3} \right) dh} &= \int{ c \, dt} \\ 2 \frac{h^2}{2} \pi R - \frac{h^3 \pi}{3} &= c·t \end{align}[/math][br]Die Höhe h wird mit dieser impliziten Funktionsgleichung festgelegt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Werte für den Radius R oder die Zuflussmenge c pro Zeiteinheit.[br]Wie lange braucht es, um den Kugel mit R = 1,5 und c = 3 zu füllen?[br]Wie lange dauert es, bis der Kugel gefüllt ist, wenn der Radius R verdoppelt wird? Begründe deine Antwort im Detail.