[br][table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/rkhmqpb9][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACUAAAA2CAYAAABA3FA2AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAACpSURBVGhD7dkxCsJAFEXR/wZiJWJhIW7MUnApriwLEFdhZy0iiN8M2tjdLr94h8wEUt3yQaRhyMiMiH7mpulRv0vU/Gm/dymOohxFOYpyFOUoylGUoygdd9tye0qv1upFTUVenoSjKEdRjqIcRTmKchTlKErX/abgyLvUG3nKs5cn4ijKUZSjKEdRjqIcRRWN6j9six2dxkMu9YiV7t+Ps8l45iJu73V8AE/fHKUjFbbZAAAAAElFTkSuQmCC[/img][/url][/td][td][size=50] this activity is a page of [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][br] [url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt][color=#0000ff][u][i][b]elliptic functions & bicircular quartics & . . .[/b][/i][/u][/color][/url]([color=#ff7700][i][b]27.04.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][right][size=50] [b][i]this activity is also a page of[/i][/b][/size][size=50][i][b] [color=#980000][i][b]GeoGebrabook[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff7700]29.09.2020[/color][/b][/i])[/size][/right][size=85][size=85][i][color=#ff00ff][right]translation is in progress[/right][/color][/i][/size][/size]

[size=85]In the complex, 3-dimensional vector space[/size] [math]\large\mathcal{G}[/math] [size=85]with non-degenerate quadratic form [math] \bullet [/math][br]an [i]oriented[/i] basis is selected[/size] [math]\mathbf\vec{p}_\infty,\,\mathbf\vec{g}_0,\,\mathbf\vec{p}_0[/math] [size=85]with[/size] [math]\mathbf{Det}\left(\mathbf\vec{p}_\infty,\mathbf\vec{g}_0, \mathbf\vec{p}_0\right)=1[/math][size=85], [br]for which the two [b][i]product tables[/i][/b] are to apply:[/size][br][list][br] [math]\Large\begin{tabular} {|c||c|c|c|} \hline \bullet & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline \mathbf\vec{p}_\infty & 0 & 0 & 1 \\ \hline \mathbf\vec{g}_0 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \mathbf\vec{p}_0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \end{tabular}[/math] [math]\Large\begin{tabular} {|c||c|c|c|} \hline [\;\,,\;] & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline\hline \mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o} & \mathbf\vec{p}_\infty & \mathbf\vec{g}_0 \\ \hline \mathbf\vec{g}_0 & - \mathbf\vec{p}_\infty & \mathfrak{o} & \mathbf\vec{p}_0 \\ \hline \mathbf\vec{p}_0 & - \mathbf\vec{g}_0 & - \mathbf\vec{p}_0& \mathfrak{o} \\ \hline \end{tabular}[/math][br][/list][br][size=85]The name [math]\large\mathcal{G}[/math] is chosen because this vector space can be interpreted as the[i][b] straight line space[/b][/i] of [br]the spherical model of the [b][i][color=#0000ff]Möbius plane.[/color][/i][/b][br]See the [color=#980000][i][b]möbiusebene-book[/b][/i][/color]-chapter [math]\hookrightarrow[/math] [u][color=#0000ff][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168840]Möbius - Geradenraum[/url] [/b][/i][/color][/u] for this transfer principle.[br][br]The [b]Lie[/b] product[/size][size=85] [ , ] is defined like in the [b][i][color=#ff00ff]Euclidean vector space[/color][/i][/b] the [b][i]cross product[/i][/b] [math]\otimes[/math]:[br][/size][list][*][size=85][math]\left(\mathbf\vec{g}_1,\,\, \mathbf\vec{g}_2\right)\; \mapsto\;\left[\,\mathbf\vec{g} _{1}\,,\,\mathbf\vec{g}_2\,\right][/math][/size] [size=85]by the uniquely determined linear form [/size] [math]\mathbf{Det}\left(\mathbf\vec{g},\mathbf\vec{g}_1, \mathbf\vec{g}_2\right)=\mathbf\vec{g}\bullet \left[\,\mathbf\vec{g} _{1}\,,\,\mathbf\vec{g}_2\,\right][/math] [size=50][size=85] for all [/size][/size][math]\mathbf\vec{g}\in \large\mathcal{G}[/math][/*][/list][math]\left(\large\mathcal{G}\;,\bullet,\;\left[\;,\;\right]\;\right)[/math] [size=85]is thus nothing else than a complexification of the [/size][size=85][b][i][color=#ff00ff]Euclidean vector space[/color][/i][/b][/size][size=85].[/size][size=85][br]The applet above is a real simplification of the [b][i]complex[/i][/b] relations: [br]e.g. it cannot be represented that every STRAIGHT line in the complex plane intersects the quadric [math]\large\mathcal{Q}[/math] [br]at one or two points: in [math]\mathbb{C}[/math] every quadratic equation is solvable![br] [/size][size=85][size=85]The POINTS on the Möbius quadric[/size][/size][size=85][size=85] [math]\large\mathcal{Q}[/math] with exception of [/size] [math]\infty\equiv \mathbf\vec{p}_\infty[/math] [/size][size=85][size=85]are achieved through the complex parametrisation:[/size][/size][br][list] [math]\mathbf\vec{p}(z):=\frac{z^2}{2}\cdot \mathbf\vec{p} _\infty+z\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0,\mbox{ with }z\in\mathbb{C}[/math] [/list][size=85]There is thus a 1 to 1 relationship between the [b][i][color=#0000ff]Möbius points[/color][/i][/b] in[/size][size=85] [math]\mathbb{C}\cup \{ \infty \}[/math] [/size][size=85]and the POINTS on[/size][size=85] [math]\large\mathcal{Q}[/math].[br][/size][size=85]The group of [/size][size=85][i]orientation-preserving[/i][/size][size=85] [b][i][color=#0000ff]Möbius transformations[/color][/i][/b] turns out to be isomophic to[/size][size=85] [math]\mathbf{SO\left(3,\mathbb{C}\right)}[/math].[br][/size][size=85]Even more:[/size][size=85] [math]\left(\large\mathcal{G}\;,\bullet,\;\left[\;,\;\right]\;\right)[/math] [/size][size=85]is the [b]LIE[/b] algebra of this group![/size][size=85] [br]We call the vectors used in the tables a [b][i][color=#ff00ff]Euclidean coordinate system[/color][/i][/b] of[/size][size=85] [math]\large\mathcal{G}[/math].[/size]

[size=50][b][i][u][color=#cc0000]Kurze Deutung der Basis-Vektoren:[/color][/u][/i][/b][br]Die [math]xy[/math]-Ebene [math]\mathbb{C}\cup\left\{\infty\right\}[/math] werde [b][i][color=#0000ff]stereographisch[/color][/i][/b] auf die [b][i][color=#bf9000]Einheitkugel [/color][/i][/b]projiziert.[br] [math]\mathbf\vec{p}_0[/math] ist eine Tangente an die Einheitkugel in Richtung der [math]x[/math]-Achse,[br] [math]\mathbf\vec{p}_\infty[/math] ist eine Tangente in [math]\infty[/math], ebenfalls in [math]x[/math]-Richtung. [br][math]\mathbf\vec{g}_0[/math] ist die Verbindungsgerade dieser beiden Punkte, im Raum also die z-Achse.[br][math]\mathbf\vec{p}(z)[/math] ist eine Tangente an die Kugel im Bildpunkt der stereographischen Projektion von z.[br][math]\mathbf{\vec{g}}=\frac{1}{\mathbf{\vec{p}\left(z_1\right)}\bullet \mathbf{\vec{p}\left(z_2\right)}}\cdot\left[\mathbf{\vec{p}\left(z_1\right)},\mathbf{\vec{p}\left(z_2\right)}\right][/math] ist die [b][i]Verbindungsgerade[/i][/b] der stereographischen Bilder von [math]z_1[/math] und [math]z_2[/math].[br][/size]

[size=85]Diese Darstellung der ebenen Möbiusgeometrie hat Nachteile, aber sehr viele Vorteile:[br]Die Kreise als einzelne Objekte sind nicht leicht zugänglich![br]Dagegen steht die Vielfalt der Deutungsmöglichkeiten der PUNKTE und der Vektoren von [math]\large\mathcal{G}[/math].[br][/size][list][*][size=85]Die - [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/fu38rxw6]projektiv anzusehenden[/url] - PUNKTE [math] \left[\;\mathbf\vec{p}\;\right][/math] auf [math]\large\mathcal{Q}[/math]- d.h. es ist [math]\mathbf\vec{p}\bullet \mathbf\vec{p}=0 [/math] - sind die Punkte der [color=#0000ff][i][b]Möbusgeometrie[/b][/i][/color].[/size][br][/*][*][size=85]Die Vektoren [math] \mathbf\vec{p}[/math] mit [math]\mathbf\vec{p}\bullet \mathbf\vec{p}=0 [/math] können als Tangentialvektoren gedeutet werden: ist [math]z(t)[/math] eine differenzierbare Kurve, so ist [math]\mathbf\vec{p}(t):=\frac{1}{z'(t)}\cdot\left(\frac{z^2}{2}\cdot \mathbf\vec{p} _\infty+z\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0\right)[/math] tangential an die Kurve. [br][math] t[/math] kann reell oder komplex sein. Im 2. Falle werden komplex-analytische Funktionen erfasst![/size][br][/*][*][size=85]Die Vektoren [math] \mathbf\vec{g}\in \large\mathcal{G}[/math] können als [i][b]infinitesimale[/b][/i] [color=#0000ff][i][b]Möbius-Bewegungen[/b][/i][/color] gedeutet werden: [br]die lineare Abbildungen [math] \mathbf\vec{g} \mapsto \mathbf{ad}\; \mathbf\vec{g}[/math], erklärt durch [math] \mathbf{ad}\; \mathbf\vec{g} \left(\mathbf\vec{\tilde{g}}\right) = \left[ \mathbf\vec{g}, \mathbf\vec{\tilde{g}}\right][/math] für alle [math]\mathbf\vec{\tilde{g}} \in \large\mathcal{G} [/math] , [br]wirken auf die Möbiuspunkte auf [math]\large\mathcal{Q}[/math]. [br]Die Bahnkurven der Bewegungen [math]t\mapsto\mathbf{exp}(t\cdot \mathbf{ad}\,\mathbf\vec{g})[/math] sind je nach Typ des Vektors [math]\mathbf\vec{g}[/math] für reelle Parameter t [br] [/size][size=85][size=85][i][b]hyperbolische[/b][/i][/size] ([math]\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g} >0[/math]), oder [/size][size=85][size=85][i][b]elliptische[/b][/i][/size] ([math]0>\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{g} [/math]) oder [i][b]parabolische[/b][/i] ([math]\mathbf\vec{g}\,^2=0 [/math]) [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color]; [br]für [math]\mathbf\vec{g}\,^2\ne 0, \mathbf\vec{g}\,^2\notin\mathbb{R}[/math] erhält man [i][b]loxodromische[/b][/i] Bahnkurven, [br]das sind die Kurven, welche ein [i][b]hyperbolisches[/b][/i] ( - oder ein [i][b]elliptisches[/b][/i] - )[color=#ff0000][i][b] Kreisbüschel[/b][/i][/color] unter konstantem Winkel schneiden. [/size][/*][*][size=85]Die Bewegungen [math]t\mapsto\mathbf{exp}(t\cdot \mathbf{ad}\,\mathbf\vec{g})[/math] sind [i][b]Ein-Parameter-Untergruppen[/b][/i] der [color=#0000ff][i][b]Möbiusgruppe[/b][/i][/color]. [br]Solche Bewegungen einer Gruppe werden als [i][b]W-Bewegungen[/b][/i] bezeichnet. [br]Auch hier erhält man eine reelle - [math]t\in\mathbb{R}[/math] - oder eine komplexe - [math]t\in\mathbb{C}[/math] - Gruppe.[br][/size][/*][/list]

[size=85][br][list][*]Die Tangentialvektoren der Bahnkurven einer [i][b]W-Bewegung[/b][/i] [math]t\mapsto\mathbf{exp}(t\cdot \mathbf{ad}\,\mathbf\vec{g})[/math] auf der Quadrik [math]\mathbf{\mathcal{Q}}[/math] erzeugen [br]ein lineares Vektorfeld: [math]\mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{p}=1[/math], mit [math]\mathbf\vec{p}\bullet\mathbf\vec{p}=0[/math]. [size=50]Siehe dazu das [color=#980000][i][b]book[/b][/i][/color]-Kapitel [math]\hookrightarrow[/math][/size] [color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168949]Kreisbüschel oder lineare Vektorfelder[/url][/b][/i][/u][/color][br][br][/*][*]Die Vektoren [math]\mathbf\vec{g}\in\mathbf{\mathcal{G}}[/math] mit [math]\mathbf\vec{g}\,^2\in \mathbb{R}[/math] können als [i]Geradenvektoren[/i] im [i][b]Kugel-Modell[/b][/i] der [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color] gedeutet werden: [br]Die GERADE [math]\mathbf\vec{g}\in\mathbf{\mathcal{G}}[/math] mit [math]\mathbf\vec{g}\,^2 < 0 [/math] schneidet die [color=#ff0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color] in 2 Punkten. [br]Die GERADE [math]i\cdot \mathbf\vec{g}[/math] ist die nicht-schneidende [i][b]Polare[/b][/i] dazu![/*][*]Von Interesse sind auch die [i][b]quadratischen Vektorfelder[/b][/i]: [math]\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{p}\cdot\mathbf\vec{g}_2\bullet\mathbf\vec{p} =1[/math] mit [math]\mathbf\vec{p}\bullet\mathbf\vec{p}=0[/math]. [br]Die Berechnung ergibt eine [i][b]elliptische Differentialgleichung[/b][/i] [math]\left(z'\right)^2=c\cdot\left(z-f_1\right)\cdot\left(z-f_2\right)\cdot\left(z-f_3\right)\cdot\left(z-f_4\right)[/math], [br]deren Lösungskurven bei speziellen Lagen der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math] f_1, f_2, f_3, f_4 [/math][color=#ff7700][i][b][br]konfokale bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] sind; dies ist zB. der Fall, wenn die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf einem [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] liegen![/*][*]Läßt man oben oder unten im Applet die "[color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]" [math]z_1,z_2[/math] gegeneinander laufen, [br]so nähern sich die [color=#ff0000][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] und die Bahnkurven den [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] von [i][b]parabolischen[/b][/i] [color=#ff0000][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color]![br][/*][/list][u][i][b]Frage: [/b][/i][/u] Welches sind die Bahnkurven von [i][b]W-Bewegungen[/b][/i] in der Gruppe der [color=#741B47][i][b]LORENTZ-Transformationen[/b][/i][/color]? [br]Da [math]\mathbf{SO\left(3,\mathbb{C}\right)}[/math] isomorph zur Gruppe der [i][b]orthochtronen[/b][/i] orientierungserhaltenden [/size][size=85][size=85][color=#741B47][i][b]LORENTZ-Transformationen[/b][/i][/color][/size] ist, [br]ist [math]\left(\large\mathcal{G}\;,\bullet,\;\left[\;,\;\right]\;\right)[/math] isomorph zur [b]LIE[/b]-Algebra dieser Gruppe![/size]

[size=85]Dieses Vektorfeld ist mit den oben angegebenen Formeln des [i][b]Übertragungsprinzips[/b][/i] konstruiert:[br]Zu [math]z_1,z_2,z\in\mathbb{C}[/math] werden [math]\mathbf{\vec{p}(z_1)},\mathbf{\vec{p}(z_2)},\mathbf{\vec{p}(z)}[/math] berechnet. [br]Die [color=#0000ff][i][b]Verbindungsgerade[/b][/i][/color] im Kugelmodell ist [math]\mathbf{\vec{g}}=\frac{1}{\mathbf{\vec{p}\left(z_1\right)}\bullet \mathbf{\vec{p}\left(z_2\right)}}\cdot\left[\mathbf{\vec{p}\left(z_1\right)},\mathbf{\vec{p}\left(z_2\right)}\right][/math].[br]Der Richtungsvektor [math]w[/math] im Punkt [math]z[/math] wird mit Hilfe des linearen Vektorfeldes [math]\left(e^{\varphi\cdot i}\cdot \mathbf{\vec{g}\right)\bullet \mathbf{\vec{p}(z)}=w[/math] berechnet.[br]Dank [color=#980000][i][b]ge[/b][/i][/color][icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon][color=#980000][i][b]gebra[/b][/i][/color] sind alle komplexen Rechnungen problemlos![/size]