Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3 hat einen Tiefpunkt bei [math]T=(0|2)[/math] und einen Wendepunkt bei [math]W=(-1|12)[/math]. Ermittle eine Termdarstellung dieses Polynoms.

[b]1) Allgemeine Termdarstellung inkl. 2 Ableitungen[/b] (bis [i]f'' [/i]wegen Wendepunkt)[b]:[/b][br][br][center][math]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \\[br]f'(x)=3ax^2+2bx+c \\[br]f'(x)=6ax+2b [br][/math][/center][br][br][b]2) Bedingungen verwerten[/b] (es werden 4 Koeffizienten (a, b, c, d) gesucht, also werden auch 4 Bedingungen benötigt)[b]:[/b][br][br][center][math][br]I: \text{Graph geht durch } T=(0|2) \quad\Longrightarrow d=2 \\[br]II: \text{Graph geht durch } W=(-1|12) \quad\Longrightarrow -a+b-c+d=12 \\[br]III: \text{Tiefpunkt bei } T=(0|2)\text{, dh. notwendigerweise ist }f'(0)=0 \quad\Longrightarrow c=0 \\[br]IV: \text{Wendepunkt bei } W=(-1|12)\text{, dh. notwendigerweise ist }f''(-1)=0 \quad\Longrightarrow -6a+2b=0[br][/math][/center][br][br][b]3) Gleichungssystem Lösen:[/b][br][br][center][math]\begin{align}[br]&II:\; -a+b&=10 \\[br]&IV:\; -6a+2b&=0[br]\end{align}[br][/math][/center][br][center][math]\boxed{a=5}\quad\boxed{b=15}\quad\boxed{c=0}\quad\boxed{d=2}[/math][/center][br][br][b]4) Koeffizienten einsetzen:[/b][br][center][math]\boxed{f(x)=5x^3+15x^2+2}[/math][/center][br][br]______________________________________________________________________________________[br][br][size=150][b]Lösung mit Geogebra:[br][br][/b][list=1][*]CAS-Ansicht öffnen[/*][*]Allgemeinen Funktionsterm definieren (beachte [i]"[/i]:=", sowie die Verwendung eines Malpunktes "*" ): f(x):=a*x^3+b*x^2+c*x+d[/*][*]Verwende Befehl [i]Löse([/i][i] [/i][i])[/i]: "Löse[{f(0)=2, f'(0)=0, f(-1)=12, f''(-1)=0}, {a, b, c, d}]"[/*][*]Verwende Befehl (beachte die Verwendung #2 um die Ausgabe von Zeile 2 zu kopieren) [i]Ersetze([/i][i] [/i][i])[/i]: "Ersetze[f , #2 ]"[/*][/list][/size]

______________________________________________________________________________________[br][br][size=150][b]Aufgabe: [br][br][/b]Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion. Ermittle den Grad sowie Funktionsterm der Funktion.[br][br][br][br][/size]

Aufstellen des Funktionsterms mit Geogebra: