Wenn wir uns die Gleichung [math]\vec y = (\mathbf E-\mathbf A)\cdot \vec x [/math] ansehen, dann sieht man: Wenn die Marktabgabe [b]insgesamt[/b] verdoppelt werden soll, d.h. alle Koordinaten, dann muss auch die Produktion [b]in allen[/b] Koordinaten verdoppelt werden. [br][math]\text{\Large$[br]\begin{array}{rlccl} [br]\vec y &= &( \mathbf E- \mathbf A)&\cdot \vec x &\vert \cdot 2\\[br]\Rightarrow \fgcolor{009800}{2\cdot }\vec y &=\fgcolor{009800}{2\cdot }&( \mathbf E- \mathbf A)&\cdot \vec x \\[br]\Rightarrow \fgcolor{009800}{2\cdot \vec y} &=&( \mathbf E- \mathbf A)&\cdot \fgcolor{009800}{2\cdot \vec x }[br]\end{array} $}[br][/math][br][br]Die Rechnung lässt sich natürlich auch mit jedem anderen Faktor als [math]2[/math] durchführen. [br][br]Aber nur, wenn die [i]gesamte[/i] Produktion oder der [i]gesamte[/i] Konsumvektor vervielfacht wird. Wenn zum Beispiel nur der Sektor [b]A[/b] seine Produktion verdoppelt, dann führt das nicht zu einer Verdopplung der Marktabgabe von Sektor [b]A[/b], weil die Produkte von [b]A[/b] ja auch in die Sektoren [b]B[/b] und [b]C[/b] hineinfließen, die wiederum selbst mehr ihrer Produke an [b]A[/b] liefern müssen.

Im Folgenden wird die Matrix [math](\mathbf E-\mathbf A)[/math] als Matrix [math]\mathbf{L}[/math] bezeichnet, mit [br][math]\mathbf L=[br]\begin{pmatrix} [br]l_{11}&l_{12}&l_{13}\\[br]l_{21}&l_{22}&l_{23}\\[br]l_{31}&l_{32}&l_{33}[br]\end{pmatrix} [/math][br][br]Dann lässt sich die Gleichung [math]\vec{y}=(\mathbf{E}-\mathbf{A})\cdot\vec{x}[/math], also [math]\vec{y}=\mathbf L\cdot \vec x[/math], auch als Gleichungssystem schreiben:[br][math]\begin{array} {rrrr}[br]y_1=&l_{11}\cdot x_1+&l_{12}\cdot x_2+&l_{13}\cdot x_3\\[br]y_2=&l_{21}\cdot x_1+&l_{22}\cdot x_2+&l_{23}\cdot x_3\\[br]y_3=&l_{31}\cdot x_1+&l_{32}\cdot x_2+&l_{33}\cdot x_3[br]\end{array}[/math][br][br]Das sind drei Gleichungen und diese reichen aus, um drei Variablen zu bestimmen. Bisher waren unsere Variablen entweder der Konsumvektor [math]\vec{y}[/math], also [math]y_1[/math], [math]y_2[/math] und [math]y_3[/math] oder der Produktionsvektor [math]\vec{x}[/math] mit den Koordinaten [math]x_1[/math], [math]x_2[/math] und [math]x_3[/math]. Aber es ist auch jede andere Mischung von drei Variablen denkbar:[br][br][list][*][math]x_1[/math], [math]x_2[/math] und [math]y_1[/math] [/*][*][math]x_2[/math], [math]y_2[/math] und [math]y_3[/math][/*][*]usw.[/*][/list]Insgesamt gibt es 20 verschiedene Möglichkeiten aus den 6 Variablen [math]x_1[/math], [math]x_2[/math], [math]x_3[/math], [math]y_1[/math],[math]y_2[/math], und [math]y_3[/math] drei Variablen auszuwählen. Für jede diese Möglichkeiten ist das oben stehende Gleichungssystem lösbar. Allerdings nicht mehr mit einer einfachen Formel, wie bei der Berechnung des Konsum- oder des Produktionsvektors im vorangehenden Kapitel. [br][br]Dieses Gleichungssytem kann entweder händisch mit dem Gauß-System gelöst werden oder mit einem CAS-System mit einer entsprechenden löse()- oder solve()-Anweisung.

Für die Sektoren [math]S_1[/math], [math]S_2[/math] und [math]S_3[/math] eines nach Leontief verflochtenen Unternehmens ist folgende technologische Matrix bekannt: [br][math]\mathbf A=\begin{pmatrix}0,15&0,4&0,2\\0,3&0,3&0,05\\0,4&0,8&0,3\end{pmatrix}[/math][br]Außerdem soll Sektor [math]S_2[/math] Waren im Wert von [math]25G\!E[/math] an den Markt abgeben. Außerdem kennen Sie die Gesamtproduktion der Sektoren [math]S_1[/math] mit [math]x_1=200\,G\!E[/math] und von [math]S_3[/math] mit [math]x_3=400\,G\!E[/math].[br]Bestimmen Sie die Marktabgaben der Sektoren [math]S_1[/math] und [math]S_3[/math] und die Gesamtproduktion des Sektors [math]S_2[/math].[br]Lösung:[br]Stellen Sie zuerst sicher, dass sich Geogebra im [b]CAS-Modus[/b] befindet.[br]Speichern Sie die Matrix [math]\mathbf{A}[/math] in Geogebra als "A" ab. Mit der Anweisung [color=#0000ff]E=Einheitsmatrix(3)[/color] können Sie die Einheitsmatrix [math]\mathbf E=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}[/math] abspeichern.[br]Dann speichern Sie die Leontief-Matrix [math](\mathbf{E}-\mathbf{A})[/math] als [math]\mathbf{L}[/math] ab. Sie erhalten die Matrix [math]\mathbf L= \begin{pmatrix}0,85&-0,5&-0,2\\-0,3&0,7&-0,05\\-0,4&-0,8&0,7\end{pmatrix}[/math][br][br][color=#980000][b]Achtung: [/b]Speichern Sie NICHT den Markt- bzw. Konsumvektor als y ab, sondern suchen Sie sich dafür einen anderen Namen, wenn sie den Vektor abspeichern wollen.[/color] [color=#0000ff]y_K[/color] [color=#980000]wäre zum Beispiel möglich. Und speichern Sie auch den Vektor der Gesamtproduktion NICHT als x ab. Auch hier sollten Sie einen alternativen Namen , wie[/color] [color=#0000ff]x_p[/color] [color=#980000]wählen. Geogebra interpretiert die Buchstaben x, y und z als Variablen des Koordinatensstems. Die Verwendung dieser Buchstaben als Namen führt in der Regel zu Fehlern.[/color][br][br]Das zu lösende Gleichungssystem lautet nun:[br][math]\begin{pmatrix} y_1\\25\\y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,85&-0,5&-0,2\\-0,3&0,7&-0,05\\-0,4&-0,8&0,7\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 200\\x_2\\400 \end{pmatrix} [/math][br]oder als Gleichungssystem geschrieben:[br][math]\begin{array}{rrrr}[br]y_1 =&0,85\cdot 200&-0,4\cdot x_2&-0,2\cdot 400\\[br]25 =&-0,3\cdot 200&+0,7\cdot x_2&-0,05\cdot 400\\[br]y_3 =&-0,4\cdot 200&-0,8\cdot x_2&+0,7\cdot 400\\[br]\end{array}[br][/math][br]Vereinfachen Sie die rechte Seite dieser Gleichungen, indem Sie die Multiplikationen schon lösen. Das kann man mit Geogebra machen, indem man [math]\fgcolor{blue}{L\cdot \begin{pmatrix} 200\\x_2\\400 \end{pmatrix}} [/math] eingibt. Dann erhalten Sie:[br][math]\begin{array}{rrr}[br]y_1=&-\frac{2}{5}\,x_2&+90\\[br]25=&\frac{7}{10}\,x_2&-80\\[br]y_3=&-\frac{4}5 \,x_2&+200[br]\end{array}[/math][br]Diese drei Gleichungen müssen Sie nun in geschweiften Klammern, von Kommata getrennt, in den löse-Befehl einsetzen. Dabei kann als Variablen [math]y_1[/math] in Geogebra [color=#0000ff]y_1[/color] eingegeben werden, als [math]y_3[/math] geben Sie [color=#0000ff]y_3[/color] ein und so weiter:[br][color=#0000ff]Löse({[/color][math]\fgcolor{blue}{y_1=-\frac 25 \cdot x_2+90 \,,\, 25=\frac 7{10} \cdot x_2-80\,,\, y_3=-\frac 45 \cdot x_2+200}[/math][color=#0000ff]} , {[/color][math]\fgcolor{blue}{y_1\,,\,y_3\,,\,x_2}[/math][color=#0000ff]})[/color][br]Dann erhalten Sie als Ergebnis: [math]y_1=30[/math], [math]y_3=80[/math] und [math]x_2=150[/math][br][br][b]Antwort:[/b] Der Markt erhält von Sektor [math]S_1[/math] Waren im Wert von [math]30\,G\!E[/math], von Sektor [math]S_3[/math] Waren im Wert von [math]80\,G\!E[/math] und die Gesamtproduktion von Sektor [math]S_2[/math] beträgt [math]x_2=150\,G\!E[/math]

In sehr seltenen Fällen kann es bei den oben stehenden mit Zufallszahlen gebildeten Aufgaben auch zu unendlich vielen Lösungen kommen, dann bleibt eine Variable in den Lösugnen enthalten. Dann ist es fast unmöglich, das richtige Ergebnis zu erraten. In einem solchen Fall lohnt es sich einfach auf "Neu" zu drücken und die nächste Aufgabe zu berechnen.