0

Polohové vlastnosti prostorových útvarů

honzalasak, Jul 10, 2023

Tato kniha vznikla jako příloha bakalářské práce. Uživatel této sbírky se seznámí se základní teorii prostorových a metrických vlastností. Dále jsou v knize obsaženy krokované úlohy. Tato kniha je využitelná na vysokých i středních školách pro samostudium, nebo jako doplňkový materiál pro studenty. Zadání bakalářské práce: Cílem je vytvoření online sbírky řešených úkolů na podporu předmětu Syntetická geometrie pro učitelství matematiky pro základní školy. Sbírka úkolů bude využitelná i pro střední školy (téma Polohové vlastnosti prostorových útvarů). Sbírka bude využívat software GeoGebra vhodný k prezentaci zadání a řešení konkrétních úkolů ve formě online GeoGebra Book. Uživatel sbírky se spolu s pochopením podstaty řešení daných úloh seznámí s možnostmi efektivního použití tohoto GeoGebra Book.

Základní teorie polohových vlastností
1. Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami
2. Vzájemná poloha dvou přímek
3. Vzájemná poloha přímky a roviny
4. Vzájemná poloha rovin
Základní teorie metrických vlastností
1. Odchylka přímek
2. Kolmost přímek a rovin
3. Odchylka přímky a roviny, dvou rovin
4. Vzdálenost bodu od přímky a od roviny
5. Vzdálenosti přímek a rovin
Sbírka řešených úloh
1. Příklady na vzájemnou poloha přímek, přímky a roviny a dvou rovin
2. Příklady na průnik roviny s tělesem - řezy těles
3. Příklady na průnik dvou rovin
4. Příklady na průnik přímky s rovinou
5. Metrické úlohy s využitím polohových vlastností
Bibliografie

Information

1.

Základní teorie polohových vlastností

1. Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami
2. Vzájemná poloha dvou přímek
3. Vzájemná poloha přímky a roviny
4. Vzájemná poloha rovin

1.1.

Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

Prostor se skládá ze tří bodů a má 3 rozměry. Přímka je jednorozměrná podmnožina prostoru a rovina je dvojrozměrná podmnožina prostoru. Jakákoli rovina rozděluje prostor na dva navzájem opačné poloprostory a složí jako jejich hraniční rovina. [8]

V prostoru se dá každá rovina jednoznačně určit:

Třemi různými body, které neleží na přímce
Přímkou a bodem, který neleží na této přímce
Dvěma různoběžnými přímkami
Dvěma různými rovnoběžnými přímkami [14]

Vztahy které mohou nastat mezi bodem, přímkou a rovinou

Bod leží / neleží na přímce (značíme A ∈ p, B ∉ p)
Přímka prochází / neprochází bodem (značíme A ∈ p, B ∉ p)

Bod leží / neleží v rovině (značíme A ∈ α, B ∉ α)
Rovina prochází/neprochází bodem (značíme A ∈ p, B ∉ p)

Přímka leží / neleží v rovině (značíme p ⊂ α, q ⊄ α, r ⊄ α )
Rovina prochází/neprochází přímkou (značíme p ⊂ α, q ⊄ α r ⊄ α)

K vyjádření těchto základních vztahu se může používat výraz ,,bod je/není incidentní s přímkou“. Tento výraz je akorát jiná forma zápisu ,,bod leží/neleží na přímce nebo přímka prochází/neprochází bodem“. Stejně tento výraz platí i pro vztahy mezi bodem a rovinou a přímkou a rovinou. [12] Pro body, přímky a roviny v prostoru lze formulovat jednoduché tvrzení:

Věta 1: ,,Jestliže bod A leží na přímce p a přímka leží v rovině α, pak i bod A leží v rovině α“
Věta 2: ,,Jestliže v rovině α leží 2 různé body A,B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině α“
Věta 3: ,,Dvěma různými body prochází právě jedna přímka“
Věta 4: ,,Třemi různými body, které neleží v přímce, prochází právě jedna rovina.“
Věta 5: ,,Přímkou a bodem, který na přímce neleží, prochází právě jedna rovina“
Věta 6: ,,Dvěma různoběžnými přímkami prochází právě jedna rovina“
Věta 7: ,,Dvěma různými rovnoběžnými přímkami prochází právě jedna rovina“ [8]

Stejně jako v planimetrii lze i v prostoru uvažovat o konvexních geometrických tvarech. ,,Geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoli 2 body útvaru je částí tohoto útvaru.“ Ve stereometrii jsou konvexní všechny útvary, které byly konvexní v planimetrii např. (úsečka, polopřímka, přímka, polorovina, kruh). Ve stereometrii je každá rovina konvexní. Příkladem nerovinného konvexního útvaru je poloprostor nebo vnitřek poloprostoru. [8]

1.2.

1.3.

1.4.

2.

Základní teorie metrických vlastností

Učivo tématu „Metrické vlastnosti“ je úzce spjato s teorií učiva polohových vlastností, jelikož vychází ze vztahů mezi objekty a jejich vzájemnými polohami. Při řešení příkladů na metrické vztahy je zapotřebí nejprve provést proces vizualizace a následné určení vzájemné polohy zadaných objektů. Abychom mohli příklady takového typu zpracovávat, je zapotřebí znát i základy teorie metrických vztahů. Metrické vztahy ve stereometrii vychází ze vztahů v planimetrii. Jedná se podrobnější popis vztahů v prostoru. Často se využívá shodnost úseček a úhlů, rovnoběžnost a kolmost přímek a rovin. [8][12]

1. Odchylka přímek
2. Kolmost přímek a rovin
3. Odchylka přímky a roviny, dvou rovin
4. Vzdálenost bodu od přímky a od roviny
5. Vzdálenosti přímek a rovin

2.1.

Odchylka přímek

Dvě rovnoběžné nebo různoběžné přímky vždy leží v jedné rovině. V důsledku tohoto se odchylka dvou přímek v těchto případech definuje stejně jako v planimetrii. Odchylku dvou mimoběžných přímek v prostoru pak charakterizujeme pomocí vhodných různoběžných přímek. [12]

Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0°.

„Odchylka různoběžných přímek je velikost každého z ostrých nebo pravých úhlů, které přímky spolu svírají.“ [8]

„Odchylka dvou mimoběžných přímek je odchylka různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžně s danými mimoběžkami.“ [8]

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

3.

Sbírka řešených úloh

1. Příklady na vzájemnou poloha přímek, přímky a roviny a dvou rovin
2. Příklady na průnik roviny s tělesem - řezy těles
3. Příklady na průnik dvou rovin
4. Příklady na průnik přímky s rovinou
5. Metrické úlohy s využitím polohových vlastností

3.1.

Příklady na vzájemnou poloha přímek, přímky a roviny a dvou rovin

1. V krychli ABCDEFGH urči vzájemnou polohu přímek ASGH a BG.

2. Určete všechny mimoběžky určené hranami krychle ABCDEFGH k přímce FG.

3. V krychli ABCDEFGH urči vzájemnou polohu přímek DG a S_ADS_BC a vzájemnou polohu obou přímek s rovinou ABH.

4. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV urči vzájemnou polohu rovin BVS_ADa DS_BCS_CV. Následně urči vztah mezi přímkou AV a oběma rovinami.

5. V čtyřstěnu ABCD určete všechny různoběžné přímky dané hranami čtyřstěnu k přímce AD. Urči také vzájemnou polohu rovin ABD, ACD, BCD.

6. V krychli ABCDEFGH urči vzájemnou polohu přímek BH a AS_GC. Následné určete vzájemnou polohu těchto přímek s rovinou AEC.

Bibliografie

This chapter does not contain any resources yet.

0