Polohové vlastnosti prostorových útvarů
Tato kniha vznikla jako příloha bakalářské práce. Uživatel této sbírky se seznámí se základní teorii prostorových a metrických vlastností. Dále jsou v knize obsaženy krokované úlohy. Tato kniha je využitelná na vysokých i středních školách pro samostudium, nebo jako doplňkový materiál pro studenty. Zadání bakalářské práce: [i]Cílem je vytvoření online sbírky řešených úkolů na podporu předmětu Syntetická geometrie pro učitelství matematiky pro základní školy. Sbírka úkolů bude využitelná i pro střední školy (téma Polohové vlastnosti prostorových útvarů). Sbírka bude využívat software GeoGebra vhodný k prezentaci zadání a řešení konkrétních úkolů ve formě online GeoGebra Book. Uživatel sbírky se spolu s pochopením podstaty řešení daných úloh seznámí s možnostmi efektivního použití tohoto GeoGebra Book. [/i]
Table of Contents
- Základní teorie polohových vlastností
- Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami
- Vzájemná poloha dvou přímek
- Vzájemná poloha přímky a roviny
- Vzájemná poloha rovin
- Základní teorie metrických vlastností
- Odchylka přímek
- Kolmost přímek a rovin
- Odchylka přímky a roviny, dvou rovin
- Vzdálenost bodu od přímky a od roviny
- Vzdálenosti přímek a rovin
- Sbírka řešených úloh
- Příklady na vzájemnou poloha přímek, přímky a roviny a dvou rovin
- Příklady na průnik roviny s tělesem - řezy těles
- Příklady na průnik dvou rovin
- Příklady na průnik přímky s rovinou
- Metrické úlohy s využitím polohových vlastností
- Bibliografie
Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami
Prostor se skládá ze tří bodů a má 3 rozměry. Přímka je jednorozměrná podmnožina prostoru a rovina je dvojrozměrná podmnožina prostoru. Jakákoli rovina rozděluje prostor na dva navzájem opačné poloprostory a složí jako jejich hraniční rovina. [8]
V prostoru se dá každá rovina jednoznačně určit: [br][list][*]Třemi různými body, které neleží na přímce [/*][*]Přímkou a bodem, který neleží na této přímce [/*][*]Dvěma různoběžnými přímkami [/*][*]Dvěma různými rovnoběžnými přímkami [14][/*][/list]
Vztahy které mohou nastat mezi bodem, přímkou a rovinou
[list][*]Bod leží / neleží na přímce (značíme A ∈ [i]p[/i], B ∉ [i]p[/i]) [/*][*]Přímka prochází / neprochází bodem (značíme A ∈ [i]p[/i], B ∉ [i]p[/i])[/*][/list]
[list][*]Bod leží / neleží v rovině (značíme A ∈ α,[i] [/i]B ∉ α)[/*][*]Rovina prochází/neprochází bodem (značíme A ∈ [i]p[/i], B ∉ [i]p[/i]) [/*][/list]
[list][*]Přímka leží / neleží v rovině (značíme [i]p [/i]⊂ α,[i] [/i][i]q [/i]⊄ α,[i] [/i][i]r [/i]⊄ α )[/*][*]Rovina prochází/neprochází přímkou (značíme [i]p [/i]⊂ α,[i] q[/i] ⊄ α[i] [/i][i]r [/i]⊄ α)[/*][/list]
K vyjádření těchto základních vztahu se může používat výraz ,,bod [b]je/není incidentní s[/b] přímkou“. Tento výraz je akorát jiná forma zápisu ,,bod leží/neleží na přímce nebo přímka prochází/neprochází bodem“. Stejně tento výraz platí i pro vztahy mezi bodem a rovinou a přímkou a rovinou. [12][br][br]Pro body, přímky a roviny v prostoru lze formulovat jednoduché tvrzení:[br][list][*][b]Věta 1[/b]: ,,[i]Jestliže bod A leží na přímce p a přímka leží v rovině α, pak i bod A leží v rovině α[/i]“ [/*][*][b]Věta 2[/b]: [i],,Jestliže v rovině α leží 2 různé body A,B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině α“ [/i][/*][*][b]Věta 3[/b]:[i] ,,Dvěma různými body prochází právě jedna přímka“ [/i][/*][*][b]Věta 4[/b]:[i] ,,Třemi různými body, které neleží v přímce, prochází právě jedna rovina.“ [/i][/*][*][b]Věta 5[/b]:[i] ,,Přímkou a bodem, který na přímce neleží, prochází právě jedna rovina“ [/i][/*][*][b]Věta 6[/b]:[i] ,,Dvěma různoběžnými přímkami prochází právě jedna rovina“ [/i][/*][*][b]Věta 7[/b]:[i] ,,Dvěma různými rovnoběžnými přímkami prochází právě jedna rovina“ [/i][8][/*][/list][br]Stejně jako v planimetrii lze i v prostoru uvažovat o konvexních geometrických tvarech. [i],,Geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoli 2 body útvaru je částí tohoto útvaru.“ [/i]Ve stereometrii jsou konvexní všechny útvary, které byly konvexní v planimetrii např. (úsečka, polopřímka, přímka, polorovina, kruh). Ve stereometrii je každá rovina konvexní. Příkladem nerovinného konvexního útvaru je poloprostor nebo vnitřek poloprostoru. [8]
Odchylka přímek
[justify]Dvě rovnoběžné nebo různoběžné přímky vždy leží v jedné rovině. V důsledku tohoto se odchylka dvou přímek v těchto případech definuje stejně jako v planimetrii. Odchylku dvou mimoběžných přímek v prostoru pak charakterizujeme pomocí vhodných různoběžných přímek. [12][/justify]
[b]Odchylka dvou rovnoběžných přímek[/b] je 0°.
[b]„Odchylka různoběžných přímek[/b][i] je velikost každého z ostrých nebo pravých úhlů, které přímky spolu svírají.“ [/i][8]
[i]„[b]Odchylka dvou mimoběžných přímek[/b] je odchylka různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžně s danými mimoběžkami.“[/i] [8]
Příklady na vzájemnou poloha přímek, přímky a roviny a dvou rovin
[b]1. V krychli ABCDEFGH urči vzájemnou polohu přímek ASGH a BG.[/b][br]
[b]2. Určete všechny mimoběžky určené hranami krychle ABCDEFGH k přímce FG.[/b]
[b]3. V krychli ABCDEFGH urči vzájemnou polohu přímek DG a S[sub]AD[/sub]S[sub]BC[/sub] a vzájemnou polohu obou přímek s rovinou ABH.[/b]
[b]4. V pravidelném čtyřbokém jehlanu ABCDV urči vzájemnou polohu rovin BVS[sub]AD [/sub]a DS[sub]BC[/sub]S[sub]CV[/sub]. Následně urči vztah mezi přímkou AV a oběma rovinami.[/b]
[b]5. V čtyřstěnu ABCD určete všechny různoběžné přímky dané hranami čtyřstěnu k přímce AD. Urči také vzájemnou polohu rovin ABD, ACD, BCD.[/b]
[b]6. V krychli ABCDEFGH urči vzájemnou polohu přímek BH a AS[sub]GC[/sub]. Následné určete vzájemnou polohu těchto přímek s rovinou AEC.[/b]