[size=200][b]V. Ermitteln der Funktion (Teil 2)[/b][br][math]\quad\quad[/math]... aus Länge und beliebigen Aufhängepunkten[/size]

Die Punkte A und B sind nun beliebig verschiebbar und die Länge der Kette kann mit dem Schieberegler vorgegeben werden.[br][br]Der Formparameter [i]a[/i] hängt nicht von den absoluten Höhen der Aufhängepunkte A und B ab, sondern von deren Höhendifferenz [i]v[/i]. [br]Außerdem hängt er natürlich vom Abstand [i]u[/i] der beiden Pfeiler ab, und nicht zuletzt auch noch von der vorgegebenen Länge [i]l[/i] der Kette.[br][br]Die Herleitung einer Formel für die Berechnung von [i]a[/i] ist recht aufwendig, deshalb wird sie nur im Anhang (siehe [url=https://www.geogebra.org/m/nthwxa9e#material/ktzw3xsc]Parameter bei beliebiger Aufhängung[/url]) angeben.[br]Die Berechnung von [i]a[/i] kann mit[br][math][br]4 \, a^2 \cdot \sinh^2\left(\frac{u}{2a} \right) [br]=\; l^2 -v^2 [br][/math][br]oder [br][math][br]2 \, a \cdot \sinh\left(\frac{u}{2a} \right) [br]=\; \sqrt{l^2 -v^2}[br][/math][br]erfolgen.[br]Liegen die beiden Punkte A und B auf gleicher Höhe, ist [i]v[/i]=0 und die Formel ist fast identisch mit der von der vorigen Seite (symmetrische Lage von A und B).[br]Wie schon in den zuvor behandelten Fällen kann die Formel nicht nach [i]a[/i] aufgelöst werden, sondern muss mit einem geeigneten Taschenrechner oder CAS-System gelöst werden.

Der Tiefpunkt der Kettenlinie liegt bei asymmetrischer Anordnung von A und B nicht notwendig auf der y-Achse, sondern bei der x-Koordinate [i]s[/i].[br]Deshalb muss die cosh-Funktion für die Kettenlinie um [i]s[/i] verschoben werden, indem [i]x[/i] in der Funktionsgleichung durch [i]x-s[/i] ersetzt wird:[br][math][br]f(x)=a \cosh\left(\frac{x-s}{a}\right) - a \cosh\left(\frac{c1-s}{a}\right) + h1[br][/math].[br]Dabei ist [i]c1[/i] die x-Koordinate und [i]h1[/i] die y-Koordinate des Punktes A.[br]Die Verschiebung [i]s[/i] kann mit der Formel[br][math][br]\begin{array}{rl}[br] s[br]& = c1 + a \cdot \sinh^{-1} \left([br] \frac{1}{2 a}\cdot\left(l - v\cdot \coth\left(\frac{u}{2a}\right) \right) [br]\right)[br]\end{array}[br][/math][br]berechnet werden.[br]Die Herleitung ist auch bei dieser Formel aufwendig und befindet sich deshalb ebenfalls im Anhang (siehe [url=https://www.geogebra.org/m/nthwxa9e#material/ktzw3xsc]Parameter bei beliebiger Aufhängung[/url]).[br]