Smith et al (2023) realizan un estudio sobre el tamaño y la forma de las celdillas en especies de abejas en las que hay diferencia de tamaño apreciable entre distintos tipos: las obreras son más pequeñas y las reproductoras son de mayor tamaño. Dentro del mismo panal, las obreras deben construir dos tamaños de celdillas hexagonales, unas más pequeñas para criar obreras y otras más grandes para las larvas de las reproductoras y lo hacen dentro de la misma celosía, por lo que necesitan hacer una progresión de hexágonos regulares de menor tamaño a otros más grandes. Esa transición la realizan incorporando celdillas de 5 y 7 caras como muestran en las imágenes:

Primero construyen las celdillas de las obreras. El primer paso hacia los de mayor tamaño se realiza cuando a uno de los hexágonos se le elimina un vértice y dos de los lados se convierten en uno. Esa pared del pentágono es la primera en formar la celdilla de 7 caras que es más grande y que se estabilizará progresivamente en hexágonos algo mayores que los iniciales.

En el mismo artículo los autores presentan un modelo computacional matemático para explicar el emparejamiento de celdillas de 5 y 7 lados que podemos simular con GeoGebra en el siguiente applet.[br][br]Los puntos azules serían los centros de las celdillas que están situados a una distancia unitaria siguiendo una trama triangular. El diagrama de Voronoi de esos puntos determinará las regiones del plano que están más cerca de cada punto, es decir, la región que cada abeja se apropia para construir su celdilla. Si pulsamos sobre el botón [b][color=#0b5394]Solo puntos equidistantes[/color][/b] vemos que el diagrama toma la forma de un mosaico de hexágonos regulares..[br][br]Una forma de hacer celdillas más grandes consiste en alejar más unos centros de otros. Lo veremos en el applet pulsando el botón [b][color=#38761d]Puntos a diferentes distancias.[/color][/b] Smith hace la suposición de que esa separación la hacen a lo largo de una línea, separamos un poco los puntos marcados en rojo a lo largo de la recta y separamos algo más los puntos coloreados en verde. Cuando la distancia entre los puntos verdes aumenta hasta llegar a 1.7 vemos que algunas celdillas se han convertido en pentágonos porque ha eliminado un vértice mientras otras que se encuentran a su derecha, tienen un vértice más y se convierten en heptágonos.

La pared derecha del pentágono es la primera en formar la celdilla de 7 caras es más grande que las de la izquierda y se estabiliza progresivamente en los hexágonos mayores que los iniciales conforme nos dirigimos hacia la derecha con los centros de color verde.[br][br]M. C. Escher jugó con la transformación progresiva desde cuadrados a pentágonos y hexágonos en dos de sus obras más reconocibles, son los grandes murales Metamorfosis II y III

Esta actividad pertenece al libro[url=https://www.geogebra.org/m/yptgm5n4] La geometría del panal [/url]de [url=https://www.geogebra.org/u/jamora]José Antonio Mora[/url].