n-Tupel multiplizieren

Aufgabe 1a

In einer Teehandlung wird die Menge [i]m[/i] (in kg) einer Sorte zum Preis [i]p[/i] (in €/kg) verkauft.[br][br]Berechne den Verkaufserlös[i] E [/i]für [i]m[/i] = 14 kg und [i]p[/i] = 20 €/kg.[br]Stelle eine Formel für den Verkaufserlös auf.[br]

Aufgabe 1b

[br]Die Vektoren [i]m[/i] und [i]p[/i] geben die verkauften Mengen (in kg) und die Preise (in €/kg) von drei Teesorten an.[br][br]Berechne den Verkaufserlös [i]E[/i] für [math]m=\begin{pmatrix}14\\ 8\\ 3\end{pmatrix}kg[/math] und [math]p=\begin{pmatrix}20\\ 25\\ 30\end{pmatrix}€/kg[/math].[br]Stelle eine Formel für [i]E[/i] auf, wenn [math]m=\begin{pmatrix}m_1\\ m_2\\ m_3\end{pmatrix}[/math] und [math]p=\begin{pmatrix}p_1\\ p_2\\ p_3\end{pmatrix}[/math].

Der Term auf der rechten Seite der Formel für [i]E[/i] wird als [b]Skalarprodukt[/b] von [i]m[/i] und [i]p[/i] bezeichnet.[br]Man schreibt: [math]E=m\cdot p[/math].[br]Dabei sind [i]m[/i] und [i]p[/i] [b]Vektoren[/b] (hier: geordnete Tripel), [i]E[/i] aber ist eine [b]skalare Größe[/b] (Zahl mit Einheit).[br][br]Allgemein definiert man das Skalarprodukt zweier Vektoren im [math]\mathbb{R}^n[/math]:[br][math]\textcolor{blue}\bf\it{\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+...+a_n\cdot b_n}[/math]

Aufgabe 2

Zeige für geordnete Tripel, dass das Distributivgesetz gilt:[br][math]a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c[/math]

Rechengesetze

Für [math]a, b, c \in \mathbb{R}^n [/math] und [math] r\in \mathbb{R}[/math] gilt:[br][br](1) [math]\textcolor{blue}\bf\it{a\cdot b=b\cdot a}[/math][br](2) [math]\textcolor{blue}\bf\it{r\left(a\cdot b\right)=\left(ra\right)\cdot b}[/math][br](3) [math]\textcolor{blue}\bf\it{a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c}[/math][br][br]

Aufgabe 3

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

[math]\binom{3}{-2}\cdot\binom{4}{5}=\binom{12}{-10}[/math] [math]-2\cdot\binom{3}{-5}=-6+10=4[/math] [math]\binom{2}{5}\cdot\binom{-1}{1}=3[/math] [math]4\cdot\binom{5}{3}=\binom{20}{12}[/math]

Aufgabe 4

Verwende den Vektor [math]X=\binom{x}{y}[/math], um die linearen Gleichungen mit zwei Variablen in anderer Form anzuschreiben:[br]a) [math]10x+3y=-2[/math][br]b) [math]x-y=5[/math][br]c) [math]4y=-\frac{1}{3}[/math]

Aufgabe 5

Bei einem kurzen Test werden drei Fragen gestellt, die Antworten werden mit "richtig" oder "falsch" beurteilt.[br]Der Vektor [math]x=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}[/math] gibt an, wie viele richtige Antworten eine Testperson geben kann;[br]der Vektor [math]h=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 10\\ 5\end{pmatrix}[/math] gibt an, wie viele Testpersonen 0, 1, 2 bzw. 3 richtige Antworten gegeben haben;[br]außerdem ist der Vektor [math]e=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}[/math] gegeben.[br]Berechne die folgenden Ausdrücke und gib ihre Bedeutung im vorliegenden Kontext an:[br]a) [math]e\cdot h[/math][br]b) [math]x\cdot h[/math][br]c) [math]\frac{1}{e\cdot h}x\cdot h[/math]