Wenn zum Beispiel eine Funktion [math]f(x)[/math] gegeben ist, dann ist es mit den Ableitungsregeln aus der 11ten Klasse (siehe [url=https://www.geogebra.org/m/fqrd6bqm#material/ww2wyhwq]Regeln[/url] und [url=https://www.geogebra.org/m/xermrhmr]Übungen[/url]) ein Leichtes, die Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] zu berechnen. Genauso ist es einfach, durch weiteres Ableiten die Funktionen [math]f''(x)[/math] und [math]f'''(x)[/math] zu erhalten.[br]Aber kann man auch [math]f(x)[/math] berechnen, wenn nur die erste Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] gegeben ist? Kann man "aufleiten"? [i]Im Prinzip ja[/i], sagen die Mathematiker, sie nennen das allerdings nicht [i]aufleiten[/i], sondern [color=#980000][b][i]integrieren[/i][/b][/color]. [br]Um eine Funktion zu integrieren muss das Ableiten also "umgedreht" werden. Das ist gar nicht so schwer:
Gegeben sind die Ableitungsfunktionen [br][math]f'(x)=2\cdot x[/math], [br][math]g'(x)=3\cdot x^2[/math] und [br][math]h'(x)=10\cdot x^9[/math]. [br]Wie lauten die Gleichungen der Funktionen [math]f(x)[/math], [math]g(x)[/math] und [math]h(x)[/math] dazu?
[math]f(x)=x^2[/math][br][math]g(x)=x^3[/math][br]und [br][math]h(x)=x^{10}[/math]
Haben Sie es gewusst? Gratuliere, dann haben Sie das erste mal in Ihrem Leben erfolgreich integriert.
Wir integrieren die Ergebnisse von oben noch einmal: Gegeben sind die Ableitungsfunktionen[br][math]f'(x)=x^2[/math],[br][math]g'(x)=x^3[/math] und[br][math]h'(x)=x^{10}[/math][br]Wie lauten die Gleichungen der Funktionen [math]f(x)[/math], [math]g(x)[/math] und [math]h(x)[/math]?[br][br][b]Ein Tipp[/b]: Wenn Sie Ihr Ergebnis wieder ableiten und es kommen oben stehende Funktionen dabei heraus, dann haben sie alles richtig gemacht.
[math]f(x)=\frac{1}{3}x^3[/math][br][math]g(x)=\frac{1}{4}x^4[/math][br][math]h(x)=\frac{1}{11}x^{11}[/math]
Wenn man eine Funktionsgleichung [math]f(x)[/math] ableitet, dann schreibt man einfach einen Strich hinter ihren Namen und erhält die Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math]. Die Schreibweise beim Integrieren ist etwas komplizierter:[br][math]f(x)=\int f'(x)dx[/math][br]oder [br][math]F(x)=\int f(x)dx[/math][br]Wenn man die Namen der Funktionen durch ihre Terme ersetzt, dann könnte das so aussehen:[br]ist [math]f(x)=5x^4[/math], dann gilt [math]F(x)=\int f(x)dx=\int5x^4dx=x^5[/math] [br]Eigentlich schreiben die Mathematiker noch ein [math]+c[/math] dahinter, aber dazu kommen wir später.[br]Was die Symbole [math]\int[/math] und [math]dx[/math] bedeuten, wird auch später geklärt. [math]\int[/math] heißt [color=#980000][i][b]Integralzeichen[/b][/i][/color] und [math]dx[/math] nennt man [color=#980000][i][b]Differential[/b][/i][/color].[br]Die Funktion, die man beim Integrieren herausbekommt, nennt man eine [i][b]Stammfunktion[/b][/i]. [math]f(x)[/math] ist also eine Stammfunktion von [math]f'(x)[/math] und [math]F(x)[/math] ist eine Stammfunktion von [math]f(x)[/math]. Für die Bezeichnung von Stammfunktionen verwendet man gerne große Buchstaben.
Wie für das Ableiten von Funktionsgleichungen gibt es auch für das Integrieren Rechenregeln. Die einfachsten Regeln heißen auch genau so wie in der Differentialrechnung:[br][list][*]Potenzregel[/*][*]Faktorregel[/*][*]Summenregel[br][/*][/list]
Sie kennen aus der Differentialrechnung die Potenzregel: [br]Wenn [math]f(x)=x^n[/math], dann ist [math]f'(x)=n\cdot x^{n-1}[/math].[br]Wie lautet die Potenzregel der Integralrechnung? Wenn Sie die Lösungen für Aufgabe 2 gefunden haben, dann müssen Sie die Regel, dei Sei dabei verwendet haben, nur noch allgemein aufschreiben, also [br]gegeben ist die Funktion [math]f(x)=x^n[/math]. Wie lautet[br][math]F(x)=\int f(x)dx=\int x^ndx=?[/math]
Die [color=#980000][i][b]Potenzregel der Integralrechnung[/b][/i][/color] ist:[br][math]\int x^ndx=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}[/math][br][br]Ein Beispiel:[br][math]\int x^{100}dx=\frac{1}{101}\cdot x^{101}[/math]
In der Differentialrechnung gilt die Faktorregel: [br]Ist [math]f(x)=c\cdot g(x)[/math], dann ist [math]f'(x)=c\cdot g'(x)[/math][br]Wie könnte die Faktorregel der Integralrechnung lauten?[br][math]\int c\cdot g(x)dx=?[/math]
Die Faktorregel der Integralrechnung ist:[br][math]\int c\cdot g(x)dx=c\cdot\int g(x)dx[/math][br][br]Ein Beispiel:[br][math]\int10\cdot x^4dx=10\cdot\int x^4dx=10\cdot\frac{1}{5}x^5=2\cdot x^5[/math]
In der Differentialrechnung gilt die Summenregel:[br]ist [math]f(x)=g(x)\pm h(x)[/math], dann ist [math]f'(x)=g'(x)\pm h'(x)[/math][br][br]Wie könnte die Summenregel in er Integralrechnung lauten?[br][math]\int(g(x)+h(x))dx=?[/math]
Die Summenregel der Integralrechnng ist:[br][math]\int(g(x)+h(x))dx=\int g(x)dx+\int h(x)dx[/math][br][br]Ein Beispiel:[br][math]\int(4\cdot x^3+x^2)dx=\int4\cdot x^3dx+\int x^2dx=x^4+\frac{1}{3}\cdot x^3[/math]
Im nächsten Kapitel kann man diese Regeln ein wenig üben.