lineare Gleichungssysteme
In diesem Buch werden lineare Gleichungssysteme (LGS) behandelt. Es wird grundlegend geklärt, was ein LGS ist, verschiedene Lösungsverfahren vorgestellt und konkrete Anwendungen dargestellt.
Table of Contents
- Grundlagen
- Was ist ein lineares Gleichungssystem?
- Wiederholung - lineare Gleichungen
- lineare Gleichungen lösen
- Lösbarkeit
- Lösbarkeit von LGS
- Lösungsverfahren
- LGS graphisch lösen - Info
- LGS graphisch lösen - Übung
- Gleichsetzungsverfahren
- Einsetzungsverfahren
- Additionsverfahren
- Übung LGS (2x2) lösen
- Zusammenfassung der Lösungsverfahren
- Anwendung
- LGS aufstellen 1
- LGS aufstellen 2
Was ist ein lineares Gleichungssystem?
Ein lineares Gleichungssytem (LGS) ist eine Menge von mindestens zwei linearen Gleichungen, mit mindestens einer Variablen, die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.[br]Mit m wird die Anzahl der Gleichungen beschrieben.[br]Mit n wird die Anzahl der Variablen beschrieben.[br]Üblicherweise werden alle Terme mit einer Variablen auf der linken Seite und alle Terme ohne Variable auf der rechten Seite der Gleichung geschrieben.[br]Ein lineares Gleichungssystem heißt überbestimmt, wenn es mehr Gleichungen als Variablen hat [math](m>n)[/math]. Wenn das lineare Gleichungssystem mehr Variablen hat als Gleichunge [math](m>n)[/math] heißt es unterbestimmt. Hat das lineare Gleichungssystem genauso viele Gleichungen wie Variablen [math](m=n)[/math] heißt es bestimmt.[br][table][tr][td]m > n[/td][td]das LGS ist [u]überbestimmt[/u][/td][/tr][tr][td]m = n[/td][td]das LGS ist [u]bestimmt[/u][/td][/tr][tr][td]m < n[/td][td]das LGS ist [u]unterbestimmt[/u][/td][/tr][/table][br][br]Sind alle Absolutterme des Gleichungssystems 0, heißt das LGS [u]homogen[/u], ansonsten heißt das LGS [u]inhomogen[/u].[br][br]Beispiel für ein homogenes LGS:[br]3x + 5y = 0[br]4x - 7y = 0[br][br]Beispiel für ein inhomogenes LGS:[br]9x - 2y = 5[br]7x - 3y = 8
lineare Gleichungen lösen
Lösbarkeit von LGS
Bestimmte und überbestimmte lineare Gleichungssysteme sind eindeutig lösbar (Es gibt mindestens so viele Gleichungen wie Variablen, m[math]\ge[/math]n).[br]Ist dies der Fall, treten drei verschiedene Lösungsfälle auf: [table][tr][td][list][*]das LGS hat keine Lösung[/*][/list][/td][td][math]\rightarrow\mathbb{L}[/math]={}[/td][/tr][tr][td][list][*]das LGS hat eine Lösung[/*][/list][/td][td][math]\rightarrow\mathbb{L}[/math]={(x,y)} (bei zwei Variablen)[/td][/tr][tr][td][list][*]das LGS hat unendlich viel Lösungen[/*][/list][/td][td][math]\rightarrow\mathbb{L}[/math]={(x[sub]1[/sub],y[sub]1[/sub]),(x[sub]2[/sub],y[sub]2[/sub]),...(x[sub]i[/sub],y[sub]i[/sub])} (bei zwei Variablen)[/td][/tr][/table][br]Ist das lineare Gleichugnssystem unterbetstimmt (es gibt mehr Variablen als Gleichungen, m < n), ist das LGS nicht eindeutig lösbar. Es können dann so viele Variablen frei gewählt werden, bis wieder gleich viele unbekannte Variablen wie Gleichungen vorhanden sind.[br][br]Ein homogenes LGS hat immer eine eindeutige Lösung, die sogenannte triviale Lösung, bei der alle Variablen den Wert 0 haben.[br][br]Um ein inhomogenes LGS zu lösen, gibt es verschiedene Verfahren. Diese sind das graphische Lösen, das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Es gibt aber noch einige weitere Lösungsverfahren, wie z. B. das Gauß-Verfahren. Diese werden hier aber nicht betrachtet.[br]Alle Verfahren beruhen darauf, eine der beiden Variablen zu eliminieren, um die andere berechnen zu können.
LGS graphisch lösen - Info
Für das graphische Lösen eines LGS werden beide Gleichungen in die allgemeine Geradenform[br][math]y=mx+n[/math][br]gebracht, um den y-Achsenabschnitt n und die Steigung m der Geraden zu bestimmen.[br]Anschließend werden die Geraden in ein Koordinatensystem gezeichnet.[br][br]Die Lage der Geraden gibt an, ob es keine Lösung (Geraden sind parallel), eine Lösung (Geraden schneiden sich in einem Punkt) oder unendliche viele Lösungen (Geraden sind identisch) gibt.[br][br]Es gilt folgendes Lösungsschema:[br]1. Gleichungen in Geradenform bringen (nach y auflösen)[br]2. y-Achsenabschnitt n und Steigung m bestimmen[br]3. Graphen zeichnen[br]4. Lösungsmenge angeben
Merke:[br]Sind die Steigungen und die y-Achsenabschnitte verschieden, gibt es eine Lösung.[br]Sind die Steigungen gleich und die y-Achsenabschnitte verschieden, gibt es keine Lösung.[br]Sind die Steigungen und die y-Achsenabschnitte gleich, gibt es unendlich viele Lösungen.