Eine Halbkugel sowie ein kegelförmig ausgebohrter Zylinder werden auf einer beliebigen Höhe von einer horizontalen Ebene geschnitten. Du kannst die Höhe der Schnittebene mit dem grünen Anfasser verändern.[br][br]Als Schnittfläche entsteht bei der Kugel der blaue Kreis und beim ausgebohrten Zylinder der rote Kreisring.

Für den blauen Radius gilt mit dem Satz von Pythagoras [math]r'=\sqrt{r^2-h^2}[/math]. Also hat der blaue Kreis die Fläche [math]A_1=(r')^2\cdot\pi=(r^2-h^2)\cdot\pi[/math].[br][br]Den roten Kreisring berechnen wir als die Differenz zweier Kreise und erhalten [math]A_2=r^2\pi-h^2\pi[/math]. Bedenke dazu, dass das hellgrau eingefärbte Dreieck gleichschenklig sein muss.[br][br]Offenbar gilt [math]A_1=A_2[/math], und zwar unabhängig von der Höhe [math]h[/math]. Mit dem Prinzip von Cavalieri folgt darum, dass die Halbkugel und der ausgebohrte Zylinder das gleiche Volumen haben müssen.

Das Volumen des ausgebohrten Zylinders berechnen wir als die Differenz aus dem Zylindervolumen (Grundfläche mal Höhe) und dem Kegelvolumen (Grundfläche mal Höhe durch 3). Wir erhalten [math]V=r^2\pi\cdot r-\tfrac13\cdot r^2\pi\cdot r=\tfrac23r^3\pi[/math].[br][br]Wie oben gesehen, ist dies auch das Volumen der Halbkugel. Somit gilt für das Kugelvolumen [math]V_{\text{Kugel}}=2V=\tfrac43r^3\pi[/math].