Zeige am Einheitskreis für [math]0<x_0<\frac{\pi}{2} [/math] , dass die Ableitungsfunktion der Sinusfunktion die Kosinusfunktion ist, dass also gilt:[br][br]Für [math] f(x)=sin(x) [/math] ist [math] f'(x)=cos(x) [/math].[br][br]Gehe dabei folgendermaßen vor:[br]Mache dich mit den Zusammenhängen innerhalb des Applets vertraut, indem du ein bis zwei Minuten an den Reglern ziehst, die Checkbox aktivierst und die Veränderungen beobachtest.[br]Weiter unten findest du Hinweise zum Beweis.[br]

[list=1][*]Zeige zunächst, dass die Dreiecke OEF und CBH ähnlich sind.[br](Hinweis: Die Strecke OF ist Höhe im gleichschenkligen Dreieck OBH.)[/*][*]Folgere daraus, dass [math] \frac{|\overline{OE}|}{|\overline{OF}|}=\frac{|\overline{HC}|}{|\overline{HB}|}[/math].[br](Daraus folgt unmittelbar, dass [math] \frac{sin(x_0+h)-sin(x_0)}{|\overline{HB}|}=\frac{cos(x_0+\frac{h}{2})}{1}=cos(x_0+\frac{h}{2})[/math].)[br][/*][*]Begründe anschließend, dass die Strecke [math] \overline{HB} [/math] stets kleiner ist als der Bogen [i]BH[/i] und dass für kleine [math]h>0[/math] gilt: [math] h \approx | \overline{HB}| [/math].[br]Bilde dann den Grenzwert [math] \lim\limits_{n \rightarrow 0}{\frac{sin(x_0+h)-sin(x_0)}{h}}[/math], indem du [i]h[/i] im Nenner durch [math]|\overline{HB}| [/math] ersetzt.[br][/*][/list][br][math] [/math][br]