[b]Contenido[br][br][/b]- Conceptos[br][br]- Parábolas con eje focal vertical[br][br]- Parábolas con eje focal horizontal

[b]Parábola[/b] es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que su distancia a un punto fijo llamado foco es igual a su distancia a una recta fija llamada directriz: [b]distancia FP = distancia PA[/b].[br][br]En la figura se muestra una parábola con eje de simetría o eje focal vertical, es decir, paralelo al eje Y y sus ramas abren hacia arriba. También se dice que es convexa o que es cóncava hacia arriba.[br][br]Cualquiera que sea la orientación de la parábola, se tienen los siguientes elementos:[br][br][br][b]Vértice, V = (h, k)[/b]: Es el puto de intersección de la parábola y el eje focal o de simetría. También es el punto extremo de la gráfica: [br][br]- Si es cóncava hacia arriba, el vértice es el punto mínimo (más bajo)[br][br]- Si es cóncava hacia abajo, el vértice es el punto máximo (más alto)[br][br]- Si es cóncava hacia la derecha, el vértice es el punto de menor abcisa (más a la izquierda)[br][br]- Si es cóncava hacia la izquierda, el vértice es el punto de mayor abcisa (más a la derecha)[br][br]Las coordenadas del vértice se designan por [b](h, k)[/b].[br][br]En la figura, el vértice es el punto (2, -2). Es decir, h = 2, k = -2.

[b]Eje focal o eje de simetría[/b]: Es la recta que divide a la parábola en dos mitades congruentes. Pasa por el vértice y por el foco. En la figura corresponde a la recta x = 2.[br][br][b]Parámetro, p[/b]: Es la distancia entre el foco y el vértice o entre el vértice y la directriz. Siempre es positivo porque es una distancia. En la figura p = 1.[br][br][b]Foco, F[/b]: Es el punto fijo de la parábola. Está ubicado sobre el eje focal a una distancia igual al parámetro [b]p[/b] En la figura, las coordenadas del foco son (2, -1).[br][br][b]Directriz[/b]: Es una recta perpendicular al eje focal a una distancia igual al parámetro [b]p[/b]. En la figura corresponde a la recta y = -3 (pasa por [b]A[/b])[br][br][b]Radio vector, PF[/b]: Es cada uno de los segmentos que unen el foco con un punto cualquiera de la parábola.[br][br][b]Lado recto, MN[/b]: Es el segmento paralelo a la directriz, pasa por el foco y los extremos [b]M[/b] y [b]N[/b] son puntos opuestos de la parábola. Su longitud es [b]4p[/b]. En el ejemplo, el lado recto mide [b]4[/b].[br][br] El lado recto se puede utilizar para dibujar de manera aproximada una parábola cuando se conoce la concavidad, el valor del parámetro y las coordenadas del vértice o del foco o ecuación de la directriz, dado que se obtienen tres puntos de la parábola: Vértice [b]V[/b] y los dos extremos del lado recto, [b]M[/b] y [b]N.[/b]

A continuación se presentan dos applets:[br][br]- Parábola con eje de simetría vertical[br][br]- Parábola con eje de simetría horizontal[br][br][b]Parábola con eje de simetría vertical[/b][br][br]Se consideran dos casos: cóncava hacia arriba (las ramas abren hacia arriba) y cóncava hacia abajo (las ramas abren hacia abajo).[br][br]Puede seguir los siguientes pasos:[br][br]1. Seleccione la concavidad.[br][br]2. Determine los valores [b]h[/b], [b]k[/b], [b]p[/b]. Se puede hacer utilizando los deslizadores o ingresando el valor en las casillas de entrada. Si [b]h = 0[/b] y [b]k = 0[/b] se tiene que el vértice está en el origen del plano cartesiano.[br][br]3. Active/desactive las casillas de verificación Vértice, Eje de simetría, Foco, Directriz y Radios vectores AP y PF.

4. Desplace el punto [b]A[/b] de la directriz y observe la posición de [b]P[/b]. Se puede comprobar que [b]PF = PA[/b] dado que son radios de la circunferencia con centro en [b]P[/b].[br][br]Si se activa el botón [b]Activa Rastro[/b], el punto [b]P[/b] va dejando su huella o rastro. El rastro se puede desactivar o borrar. Se puede verificar que la gráfica corresponde a la huella que deja el punto [b]P[/b].[br][br]5. Active el proceso de construcción. [br][br]6. Active la ecuación canónica de la parábola:[br][br] - Si la concavidad es hacia arriba, la ecuación es de la forma [math]\left(x-h\right)^2=4p\left(y-k\right)[/math].[br][br] - Si la concavidad es hacia abajo, la ecuación es de la forma [math]\left(x-h\right)^2=-4p\left(y-k\right)[/math].[br][br]Así por ejemplo,[br][br]a) Ecuación canónica: [math]\left(x-2\right)^2=4\left(y+1\right)[/math], [b]h = 2[/b], [b]k = -1[/b], [b]4p = 4[/b]. Por lo tanto,[br][br] V = (2, -1), p = 1 y la concavidad de la parábola es hacia arriba porque 4p es [b]positivo[/b].[br][br] Eje focal: x = 2 F = (2, 0) Directriz: y = -2 Lado recto = 4: M = (0, 0) N = (4, 0)[br][br]b) Ecuación canónica: [math]\left(x-1\right)^2=-8\left(y-2\right)[/math], [b]h = 1[/b], [b]k = 2[/b], [b]-4p = - 8[/b]. Por lo tanto,[br][br] V = (1, 2), p = 2 y la concavidad de la parábola es hacia abajo porque 4p es [b]negativo[/b].[br][br] Eje focal: x = 1 F = (1, 0) Directriz: y = 4 Lado recto = 8: M = (-3, 0) N = (5, 0)[br][br] 7. Active la ecuación general. En los dos casos de concavidad de la parábola con eje focal vertical es de la forma [math]Ax^2+Dx+Ey-F=0[/math] donde A, D, E y F son los coeficientes que resultan al desarrollar los productos indicados de la ecuación canónica. [br][br]Para el ejemplo a) la ecuación general es [math]x^2-2x+8y-15=0[/math][br][br]Para el ejemplo b) la ecuación general es [math]x^2-4x-4y=0[/math][br][br]La ecuación general de la parábola se obtiene al desarrollar los productos indicados de la ecuación canónica.[br][br]Le ecuación canónica se obtiene factorizando la ecuación general. Normalmente se hace por el método de completar cuadrados.[br][br]La ecuación general de la parábola es un caso particular de la ecuación general de segundo grado [br] [math]Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0[/math]. Cuando el eje focal es vertical se tiene la [b]función cuadrática[/b] [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math]. [i] Ver Función cuadrática en el libro Funciones: https://www.geogebra.org/m/ybhvuukp#material/cjzfnycw[/i][br]

[b]Parábola con eje de simetría horizontal[/b][br][br]También se consideran dos casos: cóncava hacia la derecha (las ramas abren hacia la derecha) y cóncava hacia la izquierda (las ramas abren hacia la izquierda).[br][br]En este applet se aplica la misma metodología del applet anterior.[br][br]La ecuación canónica es de la forma [math]\left(y-k\right)^2=\pm4p\left(x-h\right)[/math]. Si la parábola abre a la derecha el segundo miembro de la ecuación es positivo. Si abre hacia la izquierda, es negativo.[br][br]Ejemplo:[br][br]De la parábola cuya ecuación es [math]\left(y-1\right)^2=-8\left(x+2\right)[/math] se puede concluir que:[br][br] h = -2 k = 1 V = (-2, 3) p = 2 F = (-4, 1) Directriz: x = 0 Eje focal: y = 1[br] [br] Longitud lado recto = 8: M = (-4, -3) N = (-4, 5) [br][br] La parábola es cóncava hacia la izquierda.[br][br]La ecuación general de una parábola con eje focal horizontal está dada por [math]Cy^2+Dx+Ey+F=0[/math]. Los coeficientes [b]A[/b] y [b]B[/b] de la ecuación general son iguales a cero.[br][br]La ecuación general de la parábola de este ejemplo es [math]y^2+8x-2y+17=0[/math].