El punto de Longchamps [color=#ff7700][b]Lo[/b][/color] es el simétrico del ortocentro [color=#ff7700][b]H[/b][/color] respecto del circuncentro [color=#ff7700][b]O[/b][/color], estando por tanto situado en la [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/RectaEuler.html]recta de Euler[/url] del triángulo. Su distancia al baricentro [color=#ff7700][b]G[/b][/color] resulta por tanto doble que la distancia entre el ortocentro [color=#ff7700][b]H[/b][/color] y el baricentro [color=#ff7700][b]G[/b][/color], por lo que es el ortocentro del triángulo antimedial.[br][br]Pero el propio Longchamps lo definió inicialmente como el [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/EjeCentroRadical.html]centro radical[/url] de las circunferencias con centro en cada vértice y radio igual al lado opuesto. Marcando las tres primeras casillas se ve fácilmente que ambas definiciones son equivalentes.[br][br]También se encuentra en la recta de Soddy, que une el incentro [color=#ff7700][b]I[/b][/color] con el [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Gergonne_punto_Adams_circ.html]punto de Gergonne[/url] [color=#ff7700][b]Ge[/b][/color], y que contiene igualmente a los dos [url=https://ilarrosa.github.io/GeoGebra/Puntos_ID_IP.html]puntos de Soddy[/url]. [br][br]La elipse [color=#0000ff][b]Ωa[/b][/color] tienen focos en los vértices [color=#ff0000][b]B[/b][/color] y [color=#38761d][b]C[/b][/color] y pasa por [color=#0000ff][b]A[/b][/color]. Se definen igualmente [color=#ff0000][b]Ωb[/b][/color] y [color=#38761d][b]Ωc[/b][/color]. Cada una de estas elipses corta a las otra dos en un par de puntos. Las rectas que pasan por los puntos de intersección de cada par de elipses concurren en [color=#ff7700][b]Lo[/b][/color].[br][br]Es el punto [b]X(20)[/b] en la [url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html]Enciclopedia de Centros de Triángulos[/url] de Clark Kimberling.

No es buena idea marcar todas las casillas simultáneamente.[br][br][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Gaston_Albert_Gohierre_de_Longchamps]Gaston Albert Gohierre de Longchamps[/url] (1842-1906) fue un matemático francés. Trabajó con Édouard Lucas y Charles Hermite en teoría de números, integrales eulerianas y curvas algebraicas. A el se debe también la trisectriz de Longchamps.[br][br](reelaborado de un applet del 26/12/2016 17:36)