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Números complejos
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1. Números complejos en forma binomial y cartesiana
- Representación gráfica de un número complejo
- Representa el opuesto, conjugado e inverso de un complejo
- Complejos
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2. Operaciones en forma binomial
- Operaciones con números complejos
-
3. Números complejos en forma polar y trigonométrica
- Formas polar y trigonométrica de un número complejo
- De forma binómica a polar
- Pasar de forma polar a binómica
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4. Multiplicación y división en forma polar
- Cociente de números complejos
- Operaciones con Números Complejos en forma polar.
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5. Potencias en forma polar
- Potencias de un número complejo.
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6. Raíces de un número complejo
- Raíces de Números Complejos
- Raíz de un número complejo
- Geometría de las potencias de un número complejo
- Potencia y raíz enésima de un número complejo
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7. Teorema fundamental del álgebra
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Números complejos
user10000, Nov 19, 2015
Table of Contents
- Números complejos en forma binomial y cartesiana
- Representación gráfica de un número complejo
- Representa el opuesto, conjugado e inverso de un complejo
- Complejos
- Operaciones en forma binomial
- Operaciones con números complejos
- Números complejos en forma polar y trigonométrica
- Formas polar y trigonométrica de un número complejo
- De forma binómica a polar
- Pasar de forma polar a binómica
- Multiplicación y división en forma polar
- Cociente de números complejos
- Operaciones con Números Complejos en forma polar.
- Potencias en forma polar
- Potencias de un número complejo.
- Raíces de un número complejo
- Raíces de Números Complejos
- Raíz de un número complejo
- Geometría de las potencias de un número complejo
- Potencia y raíz enésima de un número complejo
- Teorema fundamental del álgebra
Representación gráfica de un número complejo
Desplaza los puntos negros para modificar los valores de la parte real e imaginaria
Representación gráfica de un número complejo
Operaciones con números complejos
Operaciones con números complejos
Operaciones con números complejos
Formas polar y trigonométrica de un número complejo
Formas polar y trigonométrica de un número complejo
Formas polar y trigonométrica de un número complejo
Cociente de números complejos
La aplicación permite visualizar la división de números complejos
Cociente de números complejos
Carlos Fleitas, mayo de 2014
Potencias de un número complejo.
Al representar las sucesivas potencias positivas de un número en el plano, vemos como estas están situadas dentro de una espiral. Tambien ocurre lo mismo con las potencias negativas. Con la opción 1 puedes cambiar el complejo z moviendo su punto afijo, con la opción 2 cambias la parte real y la parte imaginaria y con la opción 3 el módulo y el argumento.
Potencias de un número complejo.
¿Recuerdas cuál era la fórmula que nos daba la potencia de un número complejo, a partir de su forma trigonométrica o su forma polar?
Raíces de Números Complejos
Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo
en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la
diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.
Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal que
Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a'
Esto equivale a que (R’)^n = R, o lo que es lo mismo, que R’=n√R, y que
nα’= α+k*360°⇐⇒ α’= α⁄n + k*360/n, donde K es un número arbitrario. Es decir,
n^√Rα = (n^√R) α+k*360°/n
Al representar las raíces n-ésimas de un número complejo, como todas tienen el mismo módulo, se cumple que:
• Sus respectivos afijos están en una circunferencia de radio igual al módulo del radicando.
• Los afijos de las raíces n-ésimas son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en esa circunferencia.
El siguiente applet muestra la representación gráfica de la raíz n-ésima de 1. Utilizando la barra de muestreo puedes cambiar el radical de la raíz y observar los cambios que se producen en la representación (puedes obtener la medida de los ángulos utilizando la herramienta ‘ángulo’).
Raíces de Números Complejos
Si calculamos en primer lugar la raíz cuadrada de 1, √1, obtenemos dos soluciones ±1, es decir, si los pasamos a forma polar 1(0) y 1(180), observamos que corresponde con la representación gráfica (+1,-1).
Si probamos con radical 6, obtenemos los siguientes argumentos:
6^√1= 1(0)
α = 0+k*360°/6 con k= 0,1,2,3,4,5
α1= 60°
α2= 120 °
α3= 180 °
α4= 240 °
α5= 300 °
Por lo tanto cada raíz esta separada por 60 °
Haz tus propias comprobaciones con los siguientes raíces de 1:
• 3^√1
En este caso observarás que cada una de las raíces esta separada por 120 °
• 12^√1
En este caso observarás que cada una de las raíces esta separada por 30 °
Después de realizar el ejercicio, comprueba los resultados midiendo los ángulos con la herramienta correspondiente.
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