Curvas Notables en el espacio

Enrique Hoyos Jiménez, Dec 22, 2019

Éste es la continuación del libro [i]Curvas Notables[/i], pero ahora en [math]R^3[/math]. He obtenido información de los siguientes sitios web: [color=#1551b5] https://www.mathcurve.com/index.htm http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Curves.html http://xahlee.info/math/math_index.html http://virtualmathmuseum.org/Curves/index.html [/color]

Table of Contents

  1. Esféricas
    1. Cicloide esférica
    2. Curva satelital
    3. Bola de Tenis
    4. Clelia
    5. Hipopedia de Eudoxo
    6. Elipse esférica
    7. Loxodroma de la esfera
  2. Cilíndricas
    1. Curva de Arquitas
    2. Curva de panqueque
    3. Círculo geodésico del cilindro
    4. Coronas tangentoidales
    5. Curva cilindro-cónica, ejes perpendiculares
    6. Curva cilindro-cónica, ejes paralelos
    7. Horóptero
    8. Pseudo-geodésica de un cilindro de revolución
    9. Intersección de dos cilindros (caso 1º)
    10. Intersección de dos cilindros (caso 2º)
  3. Varias
    1. Curvas de Lissajous
    2. Cuenca 3D
    3. Curva de precesión constante
    4. Solenoide tórico
    5. Asíntota del toro
  4. Hélices
    1. Hélice cilíndrica
    2. Hélice cónica
    3. Hélice esférica
    4. Hélice parabólica

1.

Esféricas

Curvas inscritas en una esfera.

  • 1. Cicloide esférica
  • 2. Curva satelital
  • 3. Bola de Tenis
  • 4. Clelia
  • 5. Hipopedia de Eudoxo
  • 6. Elipse esférica
  • 7. Loxodroma de la esfera

1.1.

Cicloide esférica

Si se hace rodar un círculo sobre otro, sin deslizamiento, formando los planos que incluyen a ambos un ángulo ω, un punto del círculo que rueda describirá una cicloide esférica.[br]El efecto es el mismo que si un cono rueda sobre la generatriz de otro tal como aparece en la figura anterior.[br]La curva que se obtiene es inscribible en una esfera y tiene por ecuaciones paramétricas[br][br]x= b ((q - cos(ω)) cos(t) + cos(ω) cos(t) cos(q t) + sen(t) sen(q t))[br][br]y= b ((q - cos(ω)) sen(t) + cos(ω) sen(t) cos(q t) - cos(t) sen(q t))[br][br]z= b sen(ω) (1 - cos(q t)) ; [br][br]Donde b es el radio del círculo rodante, q = a/b , siendo a el radio del círculo base y el parámetro t varía entre dos múltiplos opuestos de π, tan grandes como sea necesario.[br][br]La curva está formada por arcos con un vértice (punto sin tangente) en común. El número de arcos es el numerador de q caso de ser racional, si q es irracional es infinito.[br]
Para valores extremos de ω se obtienen curvas planas: hipocicloide para ω=0, epicicloide para ω=π. [br][br]Para 0 ≤ ω ≤ π/2 ,, q > cos ω ,, el círculo de los vértices tiene un radio menor que el círculo de la base y se tiene un hipocicloide esférico.[br][br]Para 0 ≤ ω ≤ π/2 ,, q < cos ω ,, el círculo de los vértices tiene un radio mayor que el círculo de la base y se tiene un epicicloide esférico. Igualmente en el caso π/2 ≤ ω ≤ π.[br][br]Para 0 ≤ ω ≤ π/2 ,, q = cos ω ,, los dos círculos tienen el mismo radio y la curva es una hélice esférica.[br][br][br]
– Enrique Hoyos Jiménez

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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2.

Cilíndricas

Curvas inscritas en un cilindro.

  • 1. Curva de Arquitas
  • 2. Curva de panqueque
  • 3. Círculo geodésico del cilindro
  • 4. Coronas tangentoidales
  • 5. Curva cilindro-cónica, ejes perpendiculares
  • 6. Curva cilindro-cónica, ejes paralelos
  • 7. Horóptero
  • 8. Pseudo-geodésica de un cilindro de revolución
  • 9. Intersección de dos cilindros (caso 1º)
  • 10. Intersección de dos cilindros (caso 2º)

2.1.

Curva de Arquitas

Es un caso particular de la intersección entre cilindro y toro, aunque su creador, Arquitas (IV a.C.), la estudió como instrumento para la duplicación del cubo.[br][br]Sus ecuaciones paramétricas son:[br][br]x= 2a cos²(t), [br]y= 2a sen(t) cos(t), [br]z= 2a sqrt((1 - cos(t)) cos(t)) ; [math]-\pi/2\le t\le\pi/2[/math][br][br][br][url=https://www.gaussianos.com/la-solucion-de-arquitas-al-problema-delico/]https://www.gaussianos.com/la-solucion-de-arquitas-al-problema-delico/ [/url][br][br][br]
– Enrique Hoyos Jiménez

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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2.8.

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2.9.

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2.10.

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3.

Varias

  • 1. Curvas de Lissajous
  • 2. Cuenca 3D
  • 3. Curva de precesión constante
  • 4. Solenoide tórico
  • 5. Asíntota del toro

3.1.

Curvas de Lissajous

Las curvas de Lissajous en el espacio son la extensión natural de las curvas del mismo nombre en el plano.[br][br]Aquí se presenta un par de estas curvas acopladas por compartir parámetros, excepto los de fase.[br][br]Puede observarse los efectos al mover los deslizadores y también al pulsar los botones de animación.[br][br]Las ecuaciones paramétricas de estas curvas son:[br][br]x= a sen(t)[br]y= b sen(n t + α)[br]z= c sen(m t + β) ,, -v π ≤ t ≤ v π[br][br]Los parámetros [i]n, m,[/i] afectan al periodo; α, β, afectan a la fase, mientras [i]v [/i]determina el número de vueltas de la curva.[br][br]
– Enrique Hoyos Jiménez

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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4.

Hélices

Las hélices se definen como curvas cuyas tangentes forman un ángulo β constante con determinado plano fijo ∏.

  • 1. Hélice cilíndrica
  • 2. Hélice cónica
  • 3. Hélice esférica
  • 4. Hélice parabólica

4.1.

Hélice cilíndrica

Las hélices se definen como curvas cuyas tangentes forman un ángulo β constante con determinado plano fijo ∏.[br][br]Cada hélice queda determinada por su proyección sobre ∏ y el ángulo β, o lo que equivale, la superficie sobre la que se dibuja y el ángulo β.[br][br]Sobre un cilindro elipsoidal las ecuaciones de una hélice son:[br][br]x= a cos(m t)[br]y= b sen(m t)[br]z= c t ,, -k π ≤ t ≤ k π[br][br]Cierta relación entre m y c determina el ángulo β. El valor de k junto a los dos anteriores determinan el número de espiras de la hélice.[br][br][br]
– Enrique Hoyos Jiménez

4.2.

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4.3.

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4.4.

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