Date due funzioni [b]derivabili[/b] [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] e [math]\large\bf y=g\left(x\right)[/math], il loro [b]prodotto[/b] è [b]derivabile[/b] ed è uguale alla [b]somma[/b] tra la [b]derivata della prima per la seconda più la prima per la derivata della seconda[/b], ovvero:[br][br][center][math]\Large\bf D\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=f^{\prime}\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)[/math][/center][center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

Date due funzioni [b]derivabili[/b] [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] e [math]\large\bf y=g\left(x\right)[/math], vale la seguente relazione:[br][br][center][math]\Large\bf \int_{ }^{ }f^{\prime}\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\ dx=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-\int_{ }^{ }f\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)\ dx[/math][/center]detta [b]relazione d'integrazione per parti[/b].

Per ipotesi le due funzioni sono [b]derivabili[/b], quindi il loro prodotto è derivabile ed è uguale a:[br][math]\large D\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]=f^{\prime}\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)[/math][br]Invertendo l'uguaglianza e portando uno dei due termini a secondo membro si ottiene:[br][math]\large f^{\prime}\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)=D\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]\ \longrightarrow\ f^{\prime}\left(x\right)\cdot g\left(x\right)=D\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)[/math][br]Integrando entrambi i membri si ottiene:[br][math]\large\ \int_{ }^{ }f^{\prime}\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\ dx=\int_{ }^{ }D\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right]\ dx-\int_{ }^{ }f\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)\ dx[/math][br]Considerando che la primitiva della derivata di una funzione è la funzione stessa si ottiene:[br][left][math]\large\bf \int_{ }^{ }f^{\prime}\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\ dx=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-\int_{ }^{ }f\left(x\right)\cdot g^{\prime}\left(x\right)\ dx[/math][/left]ovvero la [b]relazione d'integrazione per parti[/b].[br][br][center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

[u]Dopo aver valutato l'applicabilità dei precedenti metodi d'integrazione[/u], il metodo d'[b]integrazione per parti[/b] può essere utilizzato per integrare il [b]prodotto di due funzioni[/b] delle quali una può essere vista come derivata di una funzione.[br]In pratica, in presenza di funzioni difficili da integrare, il metodo ne consente la risoluzione attraverso l'operazione di derivazione della funzione.

[math]\large \int_{ }^{ }x\cdot e^x\ dx=x\cdot e^x-\int_{ }^{ }e^x\ dx=x\cdot e^x-e^x+c=e^x\cdot\left(x-1\right)+c[/math][br][br][math]\large \int_{ }^{ }x\cdot\cos x\ dx=x\cdot\sin x-\int_{ }^{ }\sin x\ dx=x\cdot\sin x+\cos x+c[/math][br][br][math]\large \int_{ }^{ }x\cdot\ln x\ dx=\frac{x^2}{2}\cdot\ln x-\int_{ }^{ }\frac{x^{\cancel{2}}}{2}\cdot\frac{1}{\cancel{x}}\ dx=\frac{x^2}{2}\cdot\ln x-\frac{1}{2}\int_{ }^{ }x\ dx=\frac{x^2}{2}\cdot\ln x-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2}+c=\frac{x^2}{2}\cdot\left(\ln x-\frac{1}{2}\right)+c[/math][br][br][math]\large \begin{array}{l}\int_{ }^{ }x\cdot\arctan x\ dx=\frac{x^2}{2}\cdot\arctan x-\int_{ }^{ }\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}\ dx=\frac{x^2}{2}\cdot\arctan x-\frac{1}{2}\int_{ }^{ }\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\ dx=\\[br]=\frac{x^2}{2}\cdot\arctan x-\frac{1}{2}\int_{ }^{ }1-\frac{1}{x^2+1}\ dx==\frac{x^2}{2}\cdot\arctan x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\arctan x+c=\frac{1}{2}\arctan x\cdot\left(\frac{x^2}{2}+1\right)-\frac{1}{2}x+c\end{array}[/math]