Diese Aufgabe dienen als kurze Zwischenkontrolle, ob du die ersten zwei Rechenregeln verstanden hast und anwenden kannst. Die Aufgaben sind relativ einfach und [i]sollten schnell zu lösen sein[/i].[br]Wie immer siehst du zunächst nochmal die Regeln, auf die sich die Aufgaben beziehen.
Gegeben seien konvergente Folgen [math]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]a[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit Grenzwert [math]b[/math]. Dann gelten folgende Aussagen:[br][br][b](i) Für jede Konstante [/b][math]c\in\mathbb{R}[/math][b] ist die Folge [/b][math]\left(c\cdot a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math][b] konvergent und es gilt [/b][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(c\cdot a_n\right)=c\cdot a[/math][b].[br](ii) Die Folge [/b][math]\left(a_n+b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math][b] ist konvergent und es gilt [/b][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n+b_n\right)=a+b[/math][b].[/b][br](iii) Die Folge [math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] ist konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=a\cdot b[/math].[br](iv) Falls alle [math]b_n\ne0[/math] sind sowie [math]b\ne0[/math] ist, so ist die Folge [math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] konvergent und es gilt [math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{a}{b}[/math].[br]
Untersuche die nachfolgenden Folgen auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.[br][br]Du kannst dabei folgende Limites als bekannt verwenden:[br][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0[/math][br][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(-1\right)^n\cdot\frac{1}{n}=0[/math][br][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{n}=^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1[/math]
Bestimme den Grenzwert von [math]\left(7\cdot\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math], falls möglich.
Bestimme den Grenzwert von [math]\left(3\cdot\frac{n+1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math], falls möglich.
Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\left(-1\right)^n\cdot\frac{2}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math], falls möglich.
Untersuche die nachfolgenden Folgen auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. .[br][br]Du kannst dabei folgende Limites als bekannt verwenden:[br][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0[/math][br][math]^{lim}_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1}{n}=^{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1[/math]
Bestimme den Grenzwert von [math]\left(c+\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math] mit [math]c\in\mathbb{R}[/math], falls möglich.
Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math], falls möglich.
Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{n+1}{n}+\frac{3}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math], falls möglich.
Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{1}{n}+n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/math], falls möglich.
Solltest du eine Frage falsch beantwortet haben und Fragen zum Lösungsweg haben, so kannst du in den [b]Lösungen zu den Aufgaben[/b] (mit * markiert) nachschauen.
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