Propriedades Triangulares para o Ensino Básico

Nicoly Longaretti de Souza, Sep 12, 2018

Este livro dinâmico busca trabalhar as propriedades triangulares aplicáveis ao Ensino Básico. Os capítulos aqui contidos abrangem desde definições formais até atividades interativas que proporcionam maior entendimento do conteúdo que está sendo mostrado. Entre os tópicos que serão abordados podemos destacar: Tipos e detalhes de triângulos; Semelhança e congruência; e Triângulos inscritos e circunscritos.

Table of Contents

  1. Apresentação
    1. A autora - Nicoly Longaretti de Souza
    2. Agradecimentos
    3. O livro - Propriedades Triangulares para o Ensino Básico
    4. Orientações para o Professor
    5. Orientações para o Estudante
  2. Definições, propriedades e elementos de um triângulo
    1. Definições iniciais
    2. Elementos
    3. Mova os vértices e observe os lados e ângulos.
    4. Propriedades
  3. Tipos de triângulos
    1. Quanto aos lados
    2. Quanto aos ângulos
  4. Retas e pontos associados à um triângulo
    1. Mediatriz
    2. Altura
    3. Mediana
    4. Bissetriz
  5. Relações de desigualdades
    1. Condições de existência
    2. Primeira relação de desigualdade
    3. Segunda relação de desigualdade
    4. Terceira relação de desigualdade
  6. Casos de congruência
    1. Caso LLL
    2. Caso ALA
    3. Caso LAL
    4. Caso LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto)
  7. Casos de semelhança
    1. Vídeo Aula - GERAL
    2. Definição - semelhança
    3. Lados correspondentes
    4. Proporcionalidade
    5. Teorema fundamental da proporcionalidade
    6. Caso AAA (ou AA)
    7. Caso LAL
    8. Caso LLL
  8. Exercícios
    1. Exercícios - Geral
    2. Exercícios - Congruências
    3. Exercícios - Semelhanças
  9. Referências
    1. Materiais

1.

Apresentação

  • 1. A autora - Nicoly Longaretti de Souza
  • 2. Agradecimentos
  • 3. O livro - Propriedades Triangulares para o Ensino Básico
  • 4. Orientações para o Professor
  • 5. Orientações para o Estudante

1.1.

A autora - Nicoly Longaretti de Souza

A autora deste GeoGebraBook é a acadêmica [b]Nicoly Longaretti de Souza[/b]. Estudante da segunda fase do curso de Licenciatura em Matemática, na [i]Universidade Federal de Santa Catarina, Campus de Blumenau.[br][br][/i][i][url=http://lattes.cnpq.br/7563127794192490]CURRÍCULO LATTES[br][/url]Contato: [/i]nicolylong@gmail.com
– Nicoly Longaretti de Souza

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

2.

Definições, propriedades e elementos de um triângulo

  • 1. Definições iniciais
  • 2. Elementos
  • 3. Mova os vértices e observe os lados e ângulos.
  • 4. Propriedades

2.1.

Definições iniciais

Inicialmente, vamos definir uma das figuras fundamentais da geometria que, de certa forma, “une” segmentos e ângulos: os triângulos.[br][br]
DEFINIÇÃO 01
[justify]Um triângulo é a figura formada pela união de três segmentos [math]AB[/math], [math]AC[/math] e [math]BC[/math] onde [math]A[/math], [math]B[/math] e [math]C[/math] são pontos não colineares. O triângulo determinado pelos pontos [math]A[/math], [math]B[/math] e [math]C[/math] será denotado por [math]\bigtriangleup ABC[/math], ou seja, [math]\bigtriangleup ABC=AB\cup BC\cup AC[/math][/justify]
DEFINIÇÃO 02
Os pontos [math]A[/math], [math]B[/math] e [math]C[/math] são os [i]vértices [/i]do [math]\bigtriangleup ABC[/math], e os segmentos [math]AB[/math], [math]AC[/math] e[math]BC[/math] são seus [i]lados [/i]ou suas [i]arestas[/i]. Os [i]ângulos correspondentes[/i] aos vértices de um triângulo serão designados[br]pelas letras correspondentes, ou seja:[br][math]\angle A=BAC[/math], [math]\angle B=ABC[/math] e [math]\angle C=ACB[/math].
– Nicoly Longaretti de Souza

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

Tipos de triângulos

  • 1. Quanto aos lados
  • 2. Quanto aos ângulos

3.1.

Quanto aos lados

Quanto aos lados temos três tipos de triângulos: equiláteros, isósceles e escalenos.[br][br][b]Triângulo Equilátero[/b][br]Um triângulo é equilátero se, e somente se, têm os [i][u]três lados congruentes[/u].[/i][br]Isso significa que um triângulo equilátero é um triângulo que possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais. [br]Um triângulo equilátero é também [i][u]equiângulo[/u]:[/i] todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°),sendo, portanto, classificado como um [u]polígono regular.[/u][br][br][b]Triângulos Isósceles[/b][br]Um triângulo é isósceles se, e somente se, [i][u]pelo menos dois lados forem congruentes.[/u][/i][br]Isso significa que um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados de mesma medida. Assim temos que todo triângulo equilátero é, consequentemente, um caso especial de triângulo isósceles, que apresenta não somente dois, mas todos os lados congruentes. [br]Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado [i]ângulo do vértice. [/i]Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e os da base são congruentes.[br][u]Em todo triângulo isósceles os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes.[br][/u][br][b]Triângulo Escaleno[br][/b]Um triângulo é escaleno se, e somente se, [i][u]dois quaisquer lados não são congruentes.[/u][/i][br]Isso significa que em um triângulo escaleno as medidas dos três lados são diferentes. Assim, os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.
QUESTÃO 02
Consegues criar um triângulo equilátero somente movimentando os vértices?
Experimente digitar no campo de entrada [br][img width=176,height=43]data:image/png;base64,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[/img]: [br]D=(0,0) (aperte [i]ENTER)[br][/i]E=(2,0) (aperte[i] [i]ENTER)[br][/i][/i]F=(1,sqrt(3)) (aperte [i]ENTER[/i])*[br]O que você observa?[br]*[i]sqrt é raiz quadrada.[/i]
Vídeo Aula
– Jorge Cássio, Nicoly Longaretti de Souza

3.2.

–

4.

Retas e pontos associados à um triângulo

  • 1. Mediatriz
  • 2. Altura
  • 3. Mediana
  • 4. Bissetriz

4.1.

Mediatriz

DEFINIÇÃO 03
A [b]mediatriz [/b]é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. [br] As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o [b]circuncentro[/b], que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos.
Construção da medriatriz
PASSO A PASSO 1:[br]1. Com a ferramenta 'polígono', crie o triângulo ABC. Para isso basta clicar em 3 pontos não colineares e depois novamente no primeiro ponto;[br]2. Com a ferramenta 'ponto médio', marque os pontos médios dos 3 segmentos. Para isso, basta selecionar os vértices consecutivos, dois a dois;[br]3. Com a ferramenta 'reta perpendicular', trace as perpendiculares aos lados passando pelos pontos médios. Para isso basta clicar duas vezes em cima do ponto médio criado no passo 2. Estas são as MEDIATRIZES;[br]4. Marque a intersecção das 3 perpendiculares com a ferramenta 'intersecção entre dois objetos'. Este é o CIRCUNCENTRO.[br][br][b]Note que basta traçar apenas duas mediatrizes para achar o circuncentro![br][br][/b]PASSO A PASSO 2:[br]Basta usar a ferramenta 'mediatriz'!
– Nicoly Longaretti de Souza

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

Relações de desigualdades

  • 1. Condições de existência
  • 2. Primeira relação de desigualdade
  • 3. Segunda relação de desigualdade
  • 4. Terceira relação de desigualdade

5.1.

Condições de existência

QUESTÃO 04
Altere as medidas dos segmentos e observe o triângulo. Ele sempre existirá?
Na construção seguinte, marque as caixas "Esconder/Mostrar soma das medidas dos lados do triângulo" e "Esconder/mostrar soma das medidas dos segmentos". Altere as medidas dos segmentos, observe as somas e medidas dos lados.
QUESTÃO 05
A partir do que você observou, qual é a condição para que o triângulo exista?
Desigualdade Triangular-Movimente o seletor "Etapas"
Reflexão
Entendeu a demonstração? Caso não tenha entendido, digite aqui sua dúvida.
– Nicoly Longaretti de Souza, Jorge Cássio

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

6.

Casos de congruência

  • 1. Caso LLL
  • 2. Caso ALA
  • 3. Caso LAL
  • 4. Caso LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto)

6.1.

Caso LLL

Proposição
Segundo o caso de congruência (LLL), se um triângulo ABC e um triângulo DEF têm ordenadamente[br]congruentes os três lados, então os dois triângulos são congruentes. Assim, os demais elementos[br]do triângulo ABC são congruentes aos elementos do triângulo DEF.[br]
Observe os ângulos internos e os lados dos triângulos
Observe
O triângulo ABC e o triângulo DEF têm os três ângulos congruentes entre si. [math]\alpha\equiv\delta[/math]; [math]\beta\equiv\epsilon[/math]; [math]\gamma\equiv\zeta[/math].[br]O triângulo ABC e o triângulo DEF têm os três lados congruentes entre si. AB ≡ DE; AC ≡ DF; BC ≡ EF.
QUESTÃO 06
Sejam os triângulos ABC, de lados AB=3, BC=4 e CA=5 e o triângulo DEF, de lados DE=4, EF=5 e FD=6.[br][b]Os dois triângulos são congruentes?[/b][br][i]Escolha 1 resposta:[/i]
Mova os triângulos e encaixe os lados (lado a lado)
Vídeo aula
– Marco, Nicoly Longaretti de Souza

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

7.

Casos de semelhança

  • 1. Vídeo Aula - GERAL
  • 2. Definição - semelhança
  • 3. Lados correspondentes
  • 4. Proporcionalidade
  • 5. Teorema fundamental da proporcionalidade
  • 6. Caso AAA (ou AA)
  • 7. Caso LAL
  • 8. Caso LLL

7.1.

Vídeo Aula - GERAL

– Nicoly Longaretti de Souza

7.2.

–

7.3.

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7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

7.8.

–

8.

Exercícios

  • 1. Exercícios - Geral
  • 2. Exercícios - Congruências
  • 3. Exercícios - Semelhanças

8.1.

Exercícios - Geral

– Nicoly Longaretti de Souza

8.2.

–

8.3.

–

9.

Referências

  • 1. Materiais

9.1.

Materiais

Os materiais usados para a construção deste livro dinâmico, além dos próprios, foram:[br][br]> Materiais já existentes no GeoGebra nos seguintes perfis:[br] - [url=https://www.geogebra.org/u/jc%C3%A1ssio]Jorge Cássio[/url][br] - [url=https://www.geogebra.org/u/mario.abbondati]Mario Abbondati[/url][br] - [url=https://www.geogebra.org/u/brian+diniz+amorim]Brian Diniz Amorim[/url][br] - [url=https://www.geogebra.org/u/marcobge]Marco[/url][br][br]> Sites[br][br]> Livro[br] - [url=http://www.mat.ufmg.br/ead/acervo/livros/Fundamentos_de_geometria_plana.pdf]Fundamentos de Geometria Plana - P. F. Machado [br][/url] - Fundamentos de Matemática Elementar - Osvaldo Dolce[br][br]> Canais do Youtube[br] - Aula do Guto[br] - Brasil Escola
– Nicoly Longaretti de Souza

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