Productos Notables
Los productos notables son expresiones algebraicas que resultan de generalizar ciertos casos de multiplicación de polinomios.
Table of Contents
- Cuadrado de un Binomio
- Cuadrado de un Binomio
- Cuadrado de un Trinomio
- Cuadrado de un Trinomio
- Producto de la Suma por la Diferencia
- Producto de la Suma por la Diferencia
- Producto de dos Binomios con un Término Común
- Producto de dos Binomios con un término en Común
- Cubo de un Binomio
- Cubo de un Binomio
- Fortalezco Competencias
- Fortalece sus competencias
Cuadrado de un Binomio
Cuadrado de la suma de dos términos
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término:[br][math](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/math]
Método geométrico
Para comprobar este producto notable geometricamente, se puede descomponer el área de un cuadrado de lado [math]a+b[/math] de la siguiente manera.
Método algebraico
[math](a+b)^2=(a+b)(a+b)[br][br][br][br][/math] se aplica la definición de potencia [br] [math]=a\left(a+b\right)+b\left(a+b\right)[/math] se aplica la propiedad distributiva [br] [math]=a^2+ab+ab+b^2[/math] se aplica la propiedad distributiva[br] [math]=a^2+2ab+b^2[/math] se reducen términos semejantes
Cuadrado de la diferencia de dos términos
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término:[br][math](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/math]
Método geométrico
Se puede comprobar hallando el área de un cuadrado de lado [math]a-b[/math] mediante la descomposición de las área de un cuadrado, así:
Método algebraico
[math](a-b)^2=(a-b)(a-b)[/math] se aplica la definición de potencia [br] [math]=a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)[/math] se aplica la propiedad distributiva [br] [math]=a^2-ab-ab+b^2[/math] se aplica la propiedad distributiva[br] [math]=a^2-2ab+b^2[/math] se reducen términos semejantes
Cuadrado de un Trinomio
El cuadrado de la suma de tres términos es igual al cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer término, más el doble producto del primer término por el segundo término, más el doble producto del segundo término por el tercer término, más el doble producto del primer término por el tercer término:[br][math](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac[/math]
Método geométrico
A continuación se realiza la comprobación geométrica del producto notable
Método algebraico
Para deducir el cuadrado de un trinomio por el método algebraico se utiliza la propiedad distributiva, así:[br][math](a+b+c)^2=(a+b+c)(a+b+c)[/math] se escribe la multiplicación[br] [math]=a(a+b+c)+b(a+b+c)+c(a+b+c)[/math] se aplica la propiedad distributiva[br] [math]=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2[/math] se aplica la propiedad distributiva[br] [math]=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac[/math] se simplifican términos
Producto de la Suma por la Diferencia
La suma por la diferencia de dos términos es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos términos:[br][math](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/math]
Método geométrico
A continuación, se realiza la comprobación geométrica, partiendo de dos cuadrados uno de la [math]a[/math] y otro de lado [math]b[/math] hasta obtener un rectángulo de lados [math](a+b)[/math] y [math](a-b)[/math] como se muestra
Método lagebraico
De manera similar se puede deducir el producto de la suma por la diferencia, utilizando la propiedad distributiva:[br][math](a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)[/math] se aplica la propiedad distributiva[br] [math]=a^2-ab+ab-b^2[/math] se aplica la propiedad distributiva[br] [math]=a^2-b^2[/math] se simplifican términos semejantes
Producto de dos Binomios con un término en Común
El producto de dos binomios con un término en común es igual al cuadrado del término común, más el doble producto de la suma de los dos términos no comunes por el término común, más el producto de los términos no comunes. Esto es:[br][math](x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab[/math]
Método geométrico
Este producto notable se puede comprobar mediante el área de un rectángulo de lados [math]x+a[/math] y [br][math]x+b[/math]
Método algebraico
Para deducir del producto notable de manera algebraica, utilizamos la propiedad distributiva:[br][math](x+a)(x+b)=x(x+b)+a(x+b)[/math] se utiliza la propiedad distributiva[br] [math]=x^2+bx+ax+ab[/math] se utiliza la propiedad distributiva[br] [math]=x^2+(a+b)x+ab[/math] se factoriza término semejante
Cubo de un Binomio
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero término por el segundo término, más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término:[br][math](a+b)^2=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/math]
Fortalece sus competencias
Competencia: Resolución de Problemas
Un terreno cuadrado tiene un lado de [math]x[/math] metros. Si se amplia su lado en 3 metros, ¿cuál es el área del nuevo terreno?
Competencia: Modelación
Un cuadrado de lado [math]a[/math] se expande en ambos sentidos en dos unidades. ¿Cuál es el área de la nueva figura?
Competencia: Argumentación
¿Por qué [math](x+3)^2[/math] no es igual a [math]x^2+9[/math]?
Competencia: Razonamiento
Al resolver [math](2x-3)^2[/math], un estudiante obtiene [math]4x^2-9[/math]. ¿Dónde esta el error?
Competencia: Comunicación
¿Cómo se describe mejor el producto [math](a+b)(a-b)[/math]?